石家庄铁道大学
硕士研究生招生初试科目考试大纲
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科目名称： 高等代数
编制单位： 数理系
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一、总体要求
本课程要求考生比较系统地理解和掌握高等代数的基本概念、基本性质和基本定理，掌握高等代数的基本思想以及常用的技巧和方法。要求考生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、较强的计算能力，具备一定分析问题和解决问题的能力，能够灵活地运用本课程的基础知识和基本方法进行判断、分析、计算和证明。
二、考试形式
试卷一般采用客观题型和主观题型相结合的形式，主要包括填空题、选择题、计算题、证明解答题等，具体以实际考试为准。考试时间和总分以招生简章发布为准。
三、考试内容
1、多项式
（1）掌握数域、一元多项式的概念、一元多项式的运算及性质。
（2）掌握整除的概念、性质、带余除法定理（重点）。
（3）掌握最大公因式的概念，会用辗转相除法求最大公因式，掌握综合除法（重点）。
（4）掌握互素的概念以及互素的判别方法与性质（重点）。
（5）掌握不可约多项式的判别方法与性质，多项式因式分解唯一性定理。
（6）掌握k重因式和重因式的概念，会判断是否存在重根与重因式（重点）。
（7）掌握代数基本定理、复数域与实数域上多项式的因式分解理论。
（8）掌握有理系数多项式理论，会求有理根，会使用Eisenstein判别法。
（9）了解多元多项式、对称多项式。
2、行列式
（1）掌握排列和逆序数，了解n阶行列式的定义。
（2）掌握行列式的子式、余子式和代数余子式的概念（重点）。
（3）掌握行列式的性质及按行按列展开定理，会熟练计算各类行列式（重点）。
（4）掌握Cramer法则及其应用（重点）。
（5）了解Laplace定理及行列式的乘法规则，掌握结论。
3、线性方程组
（1）掌握消元法的基本理论。
（2）了解n维向量空间的概念。
（3）掌握线性相关、向量组等价等概念及其相关定理，会判断线性相关性（重点）。
（4）掌握向量组的秩和极大无关组的概念和求法，会证明极大无关组（重点）。
（5）掌握矩阵的秩的概念及求法。
（6）掌握齐次线性方程组有解的判别定理及解的结构，会用初等行变换求基础解系和通解（重点）。
（7）掌握非齐次线性方程组有解的判别定理及解的结构，会用初等行变换求通解（重点）。
4、矩阵
（1）掌握矩阵的概念，了解单位阵、对角阵、对称阵、反对称阵等概念及其性质。
（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律（重点）。
（3）掌握矩阵的乘积的行列式及其相应定理。
（4）掌握逆矩阵的概念、性质以及伴随矩阵与逆矩阵的关系（重点）。
（5）掌握分块矩阵、准对角阵及其运算规律。
（6）掌握初等变换与初等矩阵的概念及其关系，会用初等变换求逆矩阵（重点）。
（7）掌握分块乘法的初等变换及应用。
5、二次型
（1）掌握二次型的概念及其矩阵表示。
（2）掌握矩阵的合同概念及性质，理解二次型的非退化线性替换与二次型合同的关系。
（3）掌握二次型的标准形、秩、规范形的概念以及惯性定理。
（4）掌握将二次型化为标准形的方法（重点）。
（5）掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定的概念及判别方法（重点）。
6、线性空间
（1）了解集合与映射的概念。
（2）掌握线性空间的概念及线性空间的判定方法。
（3）掌握线性空间的维数、基和坐标的概念与求法（重点）。
（4）掌握线性空间的基变换、坐标变换以及过渡矩阵的理论和求法（重点）。
（5）掌握生成子空间的概念及求其基和维数的方法（重点）。
（6）掌握子空间的交、和、直和运算、性质及其求解与证明方法（重点）。
（7）掌握线性空间同构的概念与性质。
7、线性变换
（1）掌握线性变换的概念，了解线性变换的性质。
（2）掌握线性变换的运算及其性质。
（3）掌握线性变换的矩阵，以及线性变换与矩阵的对应关系。
（4）掌握取定一组基后，向量的像的坐标表示公式，以及线性变换在两组基下的矩阵关系，并会解决相关问题（重点）。
（5）掌握线性变换及其矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念及性质，会求线性变换及矩阵的特征值和特征向量（重点）。
（6）了解Hamilton-Caylay定理。
（7）掌握矩阵相似的概念、性质及矩阵可对角化的相关定理，会将矩阵对角化。
（8）掌握线性变换的特征子空间、线性变换的不变子空间的概念及证法（重点）。
（9）掌握线性变换的值域、核、秩、零度的概念与求法（重点）。
（10）了解Jordan标准形、最小多项式。
8、λ—矩阵
（1）了解λ-矩阵的秩、可逆等概念。
（2）掌握λ-矩阵的初等变换、等价等概念，掌握判定λ-矩阵等价的充分必要条件。
（3）掌握用初等变换求λ-矩阵的标准形的方法（重点）。
（4）掌握λ-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子的概念及三者之间的关系，由其中一个，能求出其他两个（重点）。
（5）掌握两个矩阵相似的充分必要条件。
（6）掌握用行列式因子、不变因子或初等因子求Jordan标准形的方法（重点）。
9、欧几里得空间
（1）掌握内积的概念及性质，理解欧几里得空间的概念，掌握正交、度量矩阵的概念与性质。
（2）掌握标准正交基的概念与求法（施密特正交化过程）（重点），了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。
（3）掌握正交矩阵的概念及性质，掌握正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。
（4）了解欧几里得空间同构的概念和性质，掌握有限维欧几里得空间同构的充分必要条件。
（5）掌握正交变换的概念及其等价条件（重点）。
（6）掌握正交子空间、正交补的概念及性质（重点）。
（7）掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，对实对称矩阵A，会求正交矩阵T使T′AT为对角矩阵，并且会通过正交线性替换将二次型化为标准形（重点）。
（8）了解向量到子空间的距离、最小二乘法。
四、其他事项
无。
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