成都信息工程大学
2018 年硕士研究生入学考试自命题科目
考试大纲：
考试阶段：复试 科目满分值：100
考试科目：实变函数 科目代码：
考试方式：闭卷笔试 考试时长：180 分钟
一、科目的总体要求
要求考生全面的、系统的、熟悉的掌握实变函数的基本知识和计算
方法，掌握勒贝格测度与勒贝格积分。
二、考核内容与考核要求
《实变函数》主要考核 5 个方面的内容：集合、点集、测度、可测
函数、Lebesgue 积分。 能熟悉勒贝格积分的应用，了解了贝格积分的
创新思想，熟悉掌握勒贝格积分的计算。
（一）集合
内容： 1、集合的概念和运算 2、对等与基数 3、可数集合与不可
数集合
要求：学生理解集合的概念和运算；理解对等与基数的概念；理解
可数集合与不可数集合的性质；会证明集合性质的常用方法。
（二）点集
内容：1、度量空间和 n 维欧氏空间 2、内点、聚点和界点 3、开
集，闭集和完备集 4、直线上的开集，闭集和完备集的构造
要求：学生理解度量空间和 n 维欧氏空间的概念；理解内点、聚点
和界点的概念，掌握聚点的几个等价定义；理解导集和闭包的概念；了
解外点、孤立点、开核和边界的定义；理解开集和闭集的概念，理解开
集和闭集之间的对偶关系，理解开集和闭集的性质；了解 Heine-Borel
有限覆盖定理；了解紧集、自密集和完备集的定义；理解构成区间与余
区间的概念；会用直线上的开集与闭集的构造定理。
（三）测度
内容: 1、外测度 2、 可测集 3、可测集类
要求: 学生理解外测度与可测集的概念；掌握集合可测的几个充要
条件；理解可测集的性质；了解一些常用的可测集，如零集，开集、闭
集、Borel 集、G 型集、F 型集等；会可测集的一些常用证明方法。
（四）可测函数
内容：1、可测函数及其性质 2、叶果洛夫定理 3、可测函数的
构造 4、依测度收敛
要求：理解可测函数的概念，掌握可测函数的几个等价定义；理解
可测函数的性质；了解简单函数的概念，了解可测函数与简单函数的关
系；理解几乎处处收敛的概念，会用叶果洛夫定理；会用鲁津定理；理
解依测度收敛的概念，会用 Riese 定理。了解勒贝格定理。
（五）勒贝格积分
内容：1、勒贝格积分的定义 2、勒贝格积分的性质 3、 一般可
积函数 4、Riemann 积分和勒贝格积分的关系 5、积分的极限定理
要求：理解勒贝格积分的概念，理解勒贝格积分的性质；理解一般
可积函数的定义及其性质；会用勒贝格控制收敛定理；会用列维定理；
会用 Fatou 引理；以及非负可测函数积分的几何意义。
三、题型结构
考试满分 100 分，其中选择题约 30 分，计算题约 30 分，证明题约
40 分。
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