2016年成都电子科技大学601数学分析考研真题

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成都电子科技大学
2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目: 601 数学分析
注： 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题(每小题 5 分, 共 25 分)
1. 极限   

2
tan
1
2lim
x
x
x

.
2. 若直线 xy  与曲线 xy alog 相切，则 a ，切点坐标为 .
3. 抛物线 642
 xxy 与直线 2 xy 所围成的图形面积 A .
4. 设函数 ),( yxfz  由方程 zyxxe zyx
2
所确定，则 


x
z
.
5. 设区域 D由直线 xy  ， 2x 及曲线 2xy 所围成，则二重积分 D
yxyxf dd),( 先对 x
后对 y 的累次积分为 .
二、计算题（每小题 7 分, 共 14 分）
1. 设函数 )(xyy  由参数方程





,sin
,cos
taty
tatx
所确定，求 2
2
d
d
x
y
；
2. 求幂级数 



1
12
12n
n
n
x
的和函数及定义域.
三、计算题（每小题 8 分, 共 16 分）
1. 计算  
1
0
7
dxaxx ，其中 a 为常数；
2. 计算第二类曲线积分     
L
xx
yaxyexyxbyeI dcosd)(sin ，其中 ba, 为正常数，
L为曲线 2
2 xaxy  上从 )0,2( a 到 )0,0( 的一段.
四、（14 分）证明： 3
)( xxf  在 ),[ a （ 0a ）上一致连续.
五、（12 分）设函数 )(),( xgxf 在区间 ],[ ba 上连续，且在 ),( ba 内可导，证明：存在
),( ba ，使得
)(')(
)(')(
)(
)()(
)()(


gag
faf
ab
bgag
bfaf
 .
六、（12 分）证明：函数项级数 

 1
28
2
1n xn
xn
在 ),(  上一致收敛.
七、（14 分）证明：曲面 azyx  （ 0a ）上任意一点的切平面在各坐标轴上
的截距之和等于 a .
八 、（ 15 分 ） 计 算 三 重 积 分 




  zyxzyxI ddd
5
222
， 其 中  为 球 体
}2|),,{( 222
zzyxzyx  .
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九、（12 分）设函数 )(xf 具有二阶导数， )(xF 是可导的，证明：函数
  



atx
atx
yyF
a
atxfatxftxu d)(
2
1
)()(
2
1
),(
满足振动方程 2
2
2
2
2
x
u
a
t
u





，以及初始条件 )()0,( xfxu  ， )()0,( xFx
t
u



.
十、（16 分）用确界存在定理证明零点存在定理：若函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 连续，且
0)()(  bfaf ，则一定存在 ),( ba ，使得 0)( f .