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硕士研究生招生考试业务课
考研大纲
考试科目： 量子力学 科目代码： 623
一、参考书目：周世勋，《量子力学教程》（第二版），高等教育出版社，2009 年
二、考试内容范围：
(一) 波函数和薛定谔方程
1、 微观粒子波粒二象性，德布罗意关系式。
2、 波函数及波函数统计解释，波函数标准条件与归一化，自由粒子波函数箱归一化。
3、 态迭加原理。
4、 几率流密度和粒子数守恒定律。
5、 薛定谔方程，定态薛定谔方程，定态波函数特点与形式，哈密顿量不显含 t 体系波函数的时间演
化。
6、 一维势问题的定态薛定谔方程求解，包括方势阱、势垒贯穿、一维线性谐振子势等。
(二) 力学量与算符
1、量子力学关于力学量基本假设
①量子力学中力学量是用厄米算符表示。
②厄米算符本征函数是正交，完备的。
③在状态 ),( tr
中，测量某一力学量 F，测到的值只能是此力学量对应的厄米算符 Fˆ 的本征值
谱中一个；测到力学量 F 为某本征值的几率，与状态 ),( tr
用厄米算符 Fˆ 的本征函数展开式
中与该本片值对应的本征函数前的系数模平方成正比。
2、算符与力学量的关系、力学量算符的对易关系及物理含义
3、有关算符对易的定理：几个算符对易，则有共同的、完备的本征函数，逆定理成立。
4、厄米算符，泊松括号，算符对易，常用几个对易关系：
① 0],[ ji
xx ；② 0]ˆ,ˆ[ ji
PP ；③ ijji
iPx ]ˆ,ˆ[ ；④ ijkkji
LiLL ˆ]ˆ,ˆ[ ；
⑤ ]ˆ,ˆ[
2
i
LL =0；⑥ xjkkji
xiLx ]ˆ,ˆ[ ；⑦ ijkkji
PiLP ˆ]ˆ,ˆ[ ；
⑧ z
LLH ˆ.ˆ.ˆ 2
0
二二对易，其中 0
ˆH 为氢原子的哈密顿算符。
5、库仑场的特点及电子在库仑场中的运动、氢原子问题与其定态薛定谔方程求解。
6、厄米算符的本征方程与求解。常用几个算符： r
， Pˆ ， 2ˆL ， Z
Lˆ ，常用哈密顿算符 Hˆ （一维无限深
势阱、一维谐振子、氢原子、刚体转动）的本征函数与本征值。力学量平均值求法。
7、一般测不准关系式： kiGF ˆ]ˆ,ˆ[ 时，则
4
ˆˆ
2
22 k
GF 。位置与动量的测不准关系；能量与时间
2
的测不准关系。
（三） 态和力学量表象
1、态的表象，表象基矢，自身表象，三个基本表象，坐标表象、动量表象、能量表象。
2、算符和量子力学公式的矩阵表示，矩阵本征方程求解。
3、不同表象间变换，么正变换，么正变换的性质
① 二个表象基矢之间的变换，么正变换矩阵 S。
② 同一态矢在二个表象的不同表示之间的变换。
③ 同一算符在二个表象的不同矩阵之间的变换。
4、狄喇克符号的使用。
5．了解一维谐振子占有数表象与产生 a
+
、消灭算符 a 以及有关的公式。
（四）力学量随时间的演化与对称性
1、力学量随时间的演化，守恒量。
2、二个定理：位力定理，Ehrenfest 定理。
（五）近似方法
1、微扰理论
① 非简并微扰下，能级的一级修正、二级修正的公式，波函数的一级修正公式。
② 简并微扰下，能级的一级修正求法，波函数 O 级的求法。
③ 含时微扰下跃迁几率一般公式，在偶极近似下，跃迁几率求法。
2、爱因斯坦关于光发射与吸收的理论，三个系数：自发发射系数，受激发射系数，吸收系数。在
偶极近似下，三个系数与跃迁几率关系。
3、变分法一般原理，里兹（Ritz）变分法。
（六） 自旋与全同粒子
1、电子自旋角动量、自旋磁矩假设。
2、电子自旋算符 Sˆ 、泡利算符ˆ ，它们各自对易关系。
3、在
2ˆS ， z
Sˆ 表象下：
①
2ˆS ， z
Sˆ 共同本征函数及对应本征值；
② x
Sˆ ， y
Sˆ ， z
Sˆ 与 x
ˆ ， y
ˆ ， z
ˆ 的矩阵表示，它们对应的本征方程求解。
③ 含自旋的算符形式
2221
1211
GG
GG
G 。
4、电子一般自旋波函数，电子含自旋的总的波函数。
5、电子一般自旋波函数的正交归一；电子含自旋的总波函数的正交归一；含自旋算符的平均值
求法。
3
6、二个角动量耦合： 21
ˆˆˆ JJJ
① Jˆ 与 1
ˆJ ， 2
ˆJ 对易关系
② z
J 1
ˆ ， z
J 2
ˆ ， 2
1
ˆJ ， 2
2
ˆJ 的共同本征函数，无耦合表象基矢 2211
mjmj ，
2ˆJ ， z
Jˆ ， 2
1
ˆJ ， 2
2
ˆJ 的共同本征函数，耦合表象基矢 jmjj 21
无耦合表象与耦合表象基矢之间关系，C-G 系数
7、全同粒子，
① 全同性原理；全同粒子波函数特点——具有交换对称性。
② 忽略粒子间相互作用，如何用单粒子态 )( in
q 来组成全同粒子体系的波函数。
③ 忽略空间与自旋间相互作用，如何用空间与自旋波函数组成全同粒子总波函数。
④ 两个电子的自旋函数，三重态，单重态。
三、试卷结构及题型比例：
有判断题、填空题、证明题、计算题、问答题等，共 150 分，考试时间 3 小时。
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