《数理统计》
考博大纲 科目代码：2098
基本内容与要求：
一、 概率、随机变量及其函数的分布
1、 概率空间，条件概率与独立性
2、 随机变量与分布
3、 密度函数和独立性
4、 条件期望，特征函数
5、 随机变量的函数分布
6、 多元正态分布
重点：熟悉随机变量密度函数，分布函数的求解；独立性的判别方法；能
够熟练运用条件期望的相关性质；熟悉多元正态分布的性质
二、各种收敛方式与极限分布
1、 依概率收敛
2、 几乎必然收敛
3、 r 阶中心矩收敛
4、 依分布收敛
5、 各种收敛方式之间的关系
重点： 熟悉掌握常用概率不等式，如 Markov 不等式，契比雪夫不等式
等；掌握常见的以概率收敛的证明方法，掌握 Borel–Cantelli 引
理；能够熟练推导各种收敛性的关系；
三、数据压缩技术
1、 点估计量的优劣判断
2、 充分统计量
3、 完备统计量
4、 概率密度函数中的指数型分布族
重点： 掌握无偏估计； 最小方差无偏估计概念和性质； 掌握充分统计量
的相关性质；理解完备统计量的性质和作用；
1、 极大似然估计
2、 极大似然估计量
3、 Fisher 信息量和 Cramér-Rao 不等式
4、 极大似然估计量的渐进性质
5、 EM 准则
重点： 熟练掌握极大似然估计的求解；掌握极大似然的收敛性质； 掌握
Fisher 信息量的定义；掌握 C-R 不等式； 了解 EM 算法
四、 贝叶斯估计
1、 预备知识
2、 bayes 估计
3、 马尔科夫链-蒙特卡罗法
重点： 掌握 Bayes 估计；了解马尔科夫链-蒙特卡罗算法
五、 最大势检验与一致最大势检验
1、 基本概念
2、 Neyman-Pearson 引理
3、 一致最大势检验
4、 一致最大势无偏检验
5、 多参数指数族的假设检验
重点： 理解最优势检验相关概念； 掌握 N-P 引理；了解一致最优势无偏
检验的概念
六、 参数模型中的检验
1、 广义似然比检验
2、 基于似然函数的渐进检验
3、 渐进卡方检验
重点：掌握似然比检验的定义和渐近分布；
七、 非参数模型检验
1、 符号，秩和符号秩检验
2、 两个分布函数相等性检验
重点： 掌握符号，秩和符合检验的思想和定义； 掌握 Kolmogrov 检验；
八、 线性回归与最小二乘
1、 古典假定与最小二乘估计
2、 普通最小二乘估计量的有限样本性质
3、 拟合优度与模型选择
4、 假设检验
重点：掌握最小二乘方法的假设，和有限样本下的性质；掌握模型选择的基本
方法；
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