安徽师范大学数学《泛函分析》本科教学大纲

《泛函分析》教学大纲
课程编号：
总学时：51
适用对象：数学与应用数学专业本科
先修课程：数学分析、实变函数
使用教材：《实变函数与泛函分析基础》程其襄、张奠宙、魏国
强、阎革兴、钱自强（编），
高等教育出版社， 1983
参考书： 《实变函数与泛函分析概要》（下）王声望、郑维行，
高等教育出版社， 1996（第二版）
《实变函数与泛函分析》(下)夏道行等，
高等教育出版社， 1985(第二版)
考核形式：考查（闭卷）
教学环境：课堂
一、 本课程的教学目的与要求
《泛函分析》是 20 世纪随积分方程、微分方程、量子力学
等发展起来的一门重要的数学学科。它综合运用分析、代数、几
何的观点和方法研究分析数学中的问题，所以由此产生的概念、
定理和方法就更加概括，更加深刻。它有力地推动其它数学分支
的发展，且在微分方程、概率论、量子理论、现代控制论、工程
技术中有广泛的运用。
通过本课程的学习，使学生学会抽象分析的方法，熟练掌
握各种空间的结构理论、算子理论、Banach 空间的基本定理和
算子谱论。培养学生的思维能力、创新能力、分析问题与解决问
题的能力。
二、 课程的主要内容
本课程主要介绍 Banach 空间的基本定理，如 Hahn-Banach
延拓定理、一致有界原理、逆算子定理、闭图象定理、线性连续
泛函的表示定理等；Hilbert 几何学；度量空间的完备性、可分
性、连续映照、压缩映照等。
三、 本课程的内容及学时分配
本课程为一学期，每周 3 学时。
第六章 度量空间和线性赋范空间（15 学时）
1． 度量空间的进一步例子
离散度量空间，序列空间，有界函数空间，可测函数空
间。
2． 度量空间中的极限、稠密集、可分空间
点列极限，有界集，几类度量空间点列收敛的特征，稠
密集，可分空间。
3． 连续映照
映照的连续性，连续映照的性质。
4． 柯西点列和完备度量空间
柯西点列，完备度量空间的性质及例子。
5． 度量空间的完备化
等距同构，度量空间的完备化。
6． 压缩映照及其应用
压缩映照的概念，压缩映照原理及应用。
7． 线性空间
线性空间的概念及例子，线性无关集，有限维和
无限维线性空间。
8． 线性赋范空间和巴拿赫空间
范数公理，线性赋范空间的概念及例子，有限维线性
赋范空间的性质。
学习本章应掌握度量空间的基本概念，几类度量空间点列收
敛的特征，连续映照的性质，压缩映照原理，范数公理，经典赋
范线性空间。了解度量空间的完备化理论及有限维线性赋范空间
的性质。
第七章 线性有界算子和线性连续泛函（6 学时）
1． 线性有界算子和线性连续泛函
线性有界算子的概念及性质，算子范数，线性有界算子
和线性连续泛函的例子。
2． 线性算子空间和共轭空间
线性有界算子空间，共轭空间，等距映照，经典线性赋
范空间的共轭空间。
3． 广义函数大意
基本空间，广义函数，广义函数的导数。
学习本章应掌握线性有界算子的概念及性质，算子范数，
共轭空间，经典空间的共轭空间。了解广义函数的概念。
第八章 内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间（12 学时）
1．内积空间的基本概念
内积空间的基本概念，内积空间的性质和特征。
2．投影定理
完备凸子集，极小化向量定理，直交性，直交补，投
影定理。
3．希尔伯特空间中的就范直交系
就范直交系，完全就范直交系，Hilbert 空间中的就
范直交系的特征，Schmidt 直交化法，Hilbert 空间的
同构理论。
4．希尔伯特空间上的线性连续泛函
Riesz 定理，Hilbert 共轭算子。
5．自伴算子、酉算子和正常算子
自伴算子、酉算子和正常算子的概念及性质。
学习本章应掌握内积空间的概念及性质，直交性，投影
定理，就范直交系，Riesz 定理，自伴算子、酉算子和正常算
子的概念。了解 Schmidt 直交化法，自伴算子、酉算子和正
常算子的性质。
第九章 巴拿赫空间中的基本定理（9 学时）
1． 泛函延拓定理
次线性泛函，Hahn-Banach 延拓定理。
2．C[a,b]的共轭空间
Riesz 表示定理，正规化囿变函数空间。
3. 共轭算子
共轭算子的概念及性质。
4. 纲定理和一致有界性定理
疏朗集,第一、二纲集，Baire 纲定理，一致有界性定
理及其应用。
5．强收敛、弱收敛和一致收敛
线性有界算子序列的一致收敛、强收敛和弱收敛的
概念及例子，算子强收敛的特征，点列强收敛和弱收
敛。
6．逆算子定理
开映照，逆算子定理。
7．闭图象定理
闭算子，闭图象定理。
学习本章应掌握 Hahn-Banach 延拓定理，一致有界性定
理，逆算子定理和闭图象定理，算子序列及点列的各种收
敛。了解 C[a,b]空间线性连续泛函的 Riesz 表示定理。
第十章 线性有界算子的谱（9 学时）
1．谱的概念
正则算子，各种谱的定义。
2． 线性算子谱的基本性质
线性有界算子谱集的闭性及有界性。
3． 紧算子和全连续算子
紧集和相对紧集，紧算子或全连续算子的性质及例
子。
4． 自伴全连续算子的谱论
自伴全连续算子谱的性质。
学习本章应掌握各种谱的定义，有界线性算子谱的有界闭
性，全连续算子的概念及性质。了解自伴全连续算子谱理论。
四、 教学重点与难点
1．重点： 度量空间、线性赋范空间、内积空间、算子空间、
共轭空间等各类空间的结构理论，各种收敛性，算
子理论，线性连续泛函的表示定理，巴拿赫空间中
的基本定理。
2．难点： 完备性与纲定理，Hahn-Banach 延拓定理，逆算
子定理，一致有界性定理，线性连续泛函的表示定
理，自伴全连续算子的谱理论。