安徽师范大学复变函数大纲本科教学大纲

数学与应用数学专业（本科）
《复变函数》教学大纲
学时：51 学时， 学分：3 学分
理论学时：51 学时， 实验与讨论学时：10 学时
适用专业：数学与应用数学
大纲执笔人：陈怀军 大纲审定人：束立生
说 明
复变函数是数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课，它的理论和方法被广泛
应用于数学其它分支以物理学、工程技术等学科。
本课程的教学目的是使学生掌握复变函数的基本理论和；方法，使得学生能够使用
其理论和方法分析和解决有关的理论及实际问题。
根据新的教学计划，课程从原计划的 72 教学学时减少为 51 教学学时，所以本大纲
是在原有大纲的基础上，根据教学的实际情况在内容安排及讲授时数、顺序上作了相应
的调整，以适应新计划的要求。
本课程教学总时数为 51 学时。习题时采用每章一次方式处理。本大纲所列内容与
第章时仅供参考。教师可作适与调整。
教 学 大 纲
一、复数与复变函数（4 学时）
复数：复数域，复平面，复数的几种表示法，复数在几何上的应用举例。
复平面上的点集：复平面上的拓扑，区域与约当曲线。
复变函数：复变函数的概念，复变函数的极限与连续性。
球面与无穷远点：复球面，扩充复平面上的几个概念。
内容处理建议：
１ 在介绍复数的相关内容时，可稍快。
２ 在介绍平面点集和复变函数的相关内容时，可让学生对照实变函数的相频内容
加以对照和理解。
３ 注意学生对复球面与无穷远点概念理解的正确性。
二、解析函数（８学时）
解析函数的概念与 C-R 条件：解析函数的导数及其简单性质，柯西一黎曼（C-R）
条件。
初等解析函数：指数函数，对数函数，一般幂函数与一般指双曲函数。
初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个有限
支点的情形，反三角函数与反双曲函数。
内容处理建议：
１ 重点介绍解析函数的概念及柯西一黎曼条件。
２ 重点介绍指数函数、三角函数、幂函数、对数函数的基本特征，要求学生与相
应的实初等函数进行对照，找出它们的不同之处。
３ 在介绍多值函数时可借助辐角函数作为切入点。
４ 其它内容可根据课时情况作灵活处理（简讲或不讲）。
三、复变函数的积分（7 学时）
复变函数的概念及其简单性质：复积分的定义、计算及基本性质。
柯西积分定理：Cauchy 积分定理及其推广，不定积分。
柯西积分公式及推论：Cauchy 不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理，
＊
柯西型积分。
解析函数与调和函数的关系。
＊
平面向量场――解析函数的应用（一）：流量与环量，无源、漏的无旋流量，复势。
内容处理建议：
１ 主要介绍一般复积分的计算，了解复积分的基本性质。
２ 重点介绍 Cauch 定理和 Cauchy 公式，并能利用它们计算某些复积分。
３ 对于 Cauchy 定理的证明仅将证明思路作一介绍。
四、解析函数的幂级数表示法(6 学时）
复级数的基本性质：一致收敛，Weierstrass 定理，和函数性质。
幂级数：敛散性，收敛半径及收敛圆盘的确定，和函数的解析性。
解析函数的 Taylor 展式：Taylor 定理，收敛圆周上的敛教性，初等函数的 Taylor
展式。
解析函数零点的孤立性、唯一性定理。最大模原理。
内容处理建议：
１ 主要介绍复函数次级数的分析性质，着重介绍幂级数的性质。
２ 重点介绍解析函数的 Taylor 展式，并讨论它们在收敛圆上的情况，为后面幂级
级开拓打下基础。
３ 阐述解析函数零点的孤立性、唯一性、最大模原理及应用也可放在保形映射中
介绍。
五、解析函数 Laurent 展式与孤立奇点（８学时）
解析函数 Laurent 展式：双边幂级数，Laurent 定理及与 Taylor 定理的关系，解析函
数的 Laurent 展式求法。
解析函数的孤立奇点，孤立奇点的分类与判定，Schwarz 引理。
解析函数在无穷远点的性质。
整析函数与亚纯函数。
＊
平面向量场：奇点的流体力学意义，在电场力的应用。
内容处理建议：
１ 主要介绍解析函数 Laurent 展开及求法。
２ 着重于解析函数孤立奇点分类及判定的讨论，为下章列数打下基础。
３ 讨论解析函数在无穷远点的性质及整函数，亚微函数的性质。
六、残数理论及其应用（８学时）
残数的定义及残数基本定理，解析函数在孤立奇点处残数求法公式（包括无穷远点
的残数）。
残数的应用：残数理论在计算复积分及实积分中的应用（五种类型）。残数应用二：
辐角原理与 Rouche 定理。
内容处理建议：
１ 理论上着重介绍残数基本定理，并将它们与前面 Cauchy 定理及求某 Cauchy 公
式及求等公式加以比较。
２ 在积分计算上应用可分成两部分：①在复积分应用，强调其简明性、实用性，
②在实积分上分五个类型分别加以介绍，可以引例入手，加以总结。
３ 理论的应用主要介绍辐角原理与 Rouchè定理及其应用（如方程解的个数等）。
七、保形变换（１0 学时）
单叶解析函数及解析函数的保域性、保形性（导数的几何意义）。
分式线性函数的定义及其特性：保圆性、保交此不变性、保对称点性，两个重要的
分式线性变换（上半平面  单位圆）。
保形变换的 Riemann 存在定理与边界对应定理，（最大模原理与 Schwary 引理）。
应用举例：某些初等函数所构成的保形映射。
内容处理建议：
１ 主要介绍单叶解析函数作变换的保域性及保形性为后面的内容打下基础。
２ 着重介绍线性变换的映射性质：保圆性、保交比不变性与保对称点的变性。
３ 将保形变换的存在唯一性两大定理先行介绍，为实例提供理论依据。两个定理
着重介绍内容，可不作证明。另外最大模原理与 Schuarz 引理可放在此处讲授。
４ 实例部分介绍着重培养学生用保形映射解决实际问题，此处的课时可相对多一
些。
*八、解析开拓（２～３学时）
解析开拓的概念
解析开拓的幂级数方法
＊
解析开拓的透弧开拓方法：对称原理、Riemann-Schwarz 对称原理。
＊
完全解析函数及 Riemam 面的概念。
＊
多角形区域的保形变换。
内容处理建议：
１ 主要介绍解析开拓的幂级数方法
２ 对称原理可选择特殊情形加以介绍，其它内容若时间紧可不作讲解。
*九、调和函数（２学时）
调和函数的平均值公式与极值原理。
＊
Poisson 积分公式与 Dirichlet 问题。
内容处理建议：
１ 调和函数的平均值公式与极值原理的介绍主要与解析函数相尖的定理结合介
绍。因调和函数在前面的章节中已有涉及，也可将此部分内容分散于前面章节中介绍。
２ 本章其它部分为应用，如时间不够，可让学生自学。
注：加“＊”号内容为选讲部分，教师可根据实际情况，适与取舍。
教学参考书目
钟玉泉， 复变函数论（第三版）， 高等教育出版社，2004 年
余家荣，复变函数（第三版）， 高等教育出版社，2002 年