安徽师范大学《高等代数》大纲本科教学大纲

数学与应用数学专业（师范类）
高等代数教学大纲
学时：153 学分：9
理论学时：153 实验或讨论学时：20
适用专业：数学与数学应用
大纲执笔人：储茂权大纲审定人：殷晓斌
高等代数是数学专业的一门重要基础课程，是中学代数的继续和提高。
通过这一门课程的教学，使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象
的、严格的代数方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习打下基础。
这门课程大致分为两部分：多项式论和线性代数。前者以数域上一元多
项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论、向量空
间和线性变换。在讲授某些内容时，应注意与其它课程的联系。
为了体现少而精的原则，本课程着重于基础知识、基本理论的讲授和基
本技能的培养，不追求内容上的完备和全面。
本课程的学时数学时数 153 课时，其中讲授 120 课时，习题课 33 课时，
教师在使用大纲时，对于讲授次序和学时安排，可以根据实际情况，灵活掌
握。
大纲括号内的学时数为讲授时数的大致估计：
一、预备知识（4 学时）
１集合（子集、集合的交和并）
２映射（定义、满射、单射、双射、合成映射、逆映射）
３数学归纳法
４数域
二、多项式（30 学时）
１多项式的定义和运算
２多项式的带余除法
３带余除法和整除
４辗转相除法和最大公因式
５多项式的因式分解及其唯一性
６导数与重因式
７多项式的根
８多项式函数
９多项式的根与系数的关系多元多项式对称多项式
１０复数域和实数域上的多项式、代数基本定理（不证）
１１有理数域上的多项式
１２整系数多项式的有理根
三、列式（１5 学时）
１排列
２ n 阶行列式的定义
３ n 阶行列式的基本性质
４行列式按行或按列展开
５行列式的计算
６克兰姆（Cramer）规则
7 拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则
四、线性方程组（１６学时）
１线性方程组的消元法
２ n 维向量空间
３线性相关性
４矩阵的秩
５线性方程组有解的判定
６线性方程组解的结构
五、矩阵（１５学时）
１矩阵的概念及运算
２矩阵乘积的行列式及秩
３矩阵的逆
４矩阵的分块及其应用
５初等矩阵
六、二次型（８学时）
１二次型的定义及其矩阵表示
２标准型
３唯一性
４正定二次型及其判定
七、线性空间（１８学时）
１线性空间的定义与基本性质
２维数、基与坐标
３线性子空间
４子空间的交与和
５子空间的直和
６线性空间的同构
八、线性变换（２２学时）
１线性变换的概念
２线性变换的运算
３线性变换的矩阵
４矩阵的相似
５特征值与特征向量
６可对角化的矩阵
７线性变换的值域与核、不变子空间
８若当（Jordan）标准形简介
９最小多项式
九、λ-矩阵（１０学时）
１ λ -矩阵定义及其逆
２ λ -矩阵在初等变换下的标准形
３不变因子、初等因子
４矩阵相似的条件
５若当（Jordan）标准形的理论推导
十、欧几里得空间（１０学时）
１定义与基本性质
２标准正交基、正交变换
３同构
４子空间
５对称矩阵的标准形
６向量到子空间的距离、最小二乘法
教学参考书目：
张禾瑞郝炳新高等代数高等教育出版社 1983 年 9 月出版
第三版