2018年长春理工大学复变函数加试大纲.doc考研大纲

长春理工大学数学研究生入学加试
《复变函数》考试大纲
一、总体要求
考生应按本大纲的要求，掌握复变函数的积分理论，级数理论，留数理论，保形映
射和解析函数的理论，并了解调和函数的概念。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；
应具备有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基
本方法正确地推理证明。
二、教材
《复变函数（第五版）》，余家荣，高等教育出版社
三、考试内容
（一）复数及复平面
（1）理解复数的定义，熟练掌握复数的代数表达，四则运算及共轭的求法；熟练掌握
复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用，复平面与平面向量的关系；熟练掌
握复数的模，辐角，三角表达式的定义和求法；掌握复数的球面表示，复球面及无穷大。
（2）理解内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等概念，曲线、区
域的概念，理解 Jordan 曲线定理。
（二）复变函数
（1）深入理解复变函数的定义，掌握复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元
函数的极限连续性的等价性；理解并掌握解析函数的概念；熟练掌握 Cauchy—Riemann 条件，
能够用这个条件判定函数的解析性。
（2）理解多值函数的概念、分支、分支点的概念，熟练掌握基本初等函数：指数函数，
辐角函数，对数函数，幂函数，三角函数的定义、性质。
（三）复变函数的积分
（1）掌握积分的定义、性质，会将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算；深
入理解和熟练掌握 Cauchy 定理，理解 Cauchy 定理的证明；掌握 Cauchy 定理的推广，会用
Cauchy 定理计算积分。
（2）熟练掌握 Cauchy 公式，能熟练使用 Cauchy 公式计算积分；掌握解析函数的无穷
可微性，Cauchy 不等式，Liouville 定理，Morera 定理，会使用这些性质和理论解决一些
具体的问题。
（四）级数
（1）掌握复数项级数的定义及其收敛条件，函数项级数的一致收敛性定义与判定法，
内闭一致收敛的定义，判定法和性质；掌握幂级数的收敛的定义，判定法，和函数的性质。
（2）掌握函数能展开成 Taylor 展式的理论依据和方法，能熟练地将解析函数展开成
幂级数；掌握解析函数幂级数展式的唯一性；深入理解并掌握零点的概念，掌握零点的孤立
性；掌握解析函数的唯一性定理。
（3）理解和掌握解析函数的 Laurent 展式的概念；掌握解析函数的 Laurent 展式的唯
一性；能熟练地将解析函数展开成 Laurent 展式；理解和掌握解析函数三类孤立奇点的定义，
判定方法；掌握解析函数在无穷远点性质；理解整函数和亚纯函数的定义，掌握整函数和亚
纯函数的简单应用。
（五）留数
（1）掌握留数定理，能熟练计算函数的留数。
（2）熟练掌握利用留数求积分的方法；掌握亚纯函数在一定区域内零点与极点个数的
关系，理解 Rouche 定理，会用 Rouche 定理确定某些方程在一定区域内根的个数。
（六）保形映射
（1）深入理解和掌握单叶解析函数的概念；熟练掌握单叶解析函数各个性质，并能利
用这些性质解决一些具体问题；掌握保形映射的概念；掌握单叶解析函数的几何意义。
（2）理解和掌握分式线性函数的定义；熟练掌握分式线性函数的几条映射性质，理解
并熟练掌握两个特殊的分式线性函数。
（3）掌握最大模原理，Schwatz 引理；理解 Riemann 映射定理，边界对应原理；熟练
掌握将某些区域保形映射成所要求的区域的方法。
（七）解析函数
（1）理解和掌握对称原理及其推广的形式，会应用对称原理和推广的对称原理；掌
握用幂级数进行解析开拓的方法；了解一般解析函数，Riemann 面的概念和实例；了解沿曲
线的解析开拓问题。
（2）掌握多角形映射基本公式，会用多角形映射基本公式解决具体的问题。
（八）调和函数
（1）理解和掌握调和函数的概念；掌握调和函数的中值定理和中值公式，Poisson 公
式，以及调和函数的极值原理。