2018年云南财经大学高等代数考研大纲

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云南财经大学硕士研究生
《高等代数》入学考试大纲
本考试大纲适用于报考云南财经大学统计与数学学院的统计学(授理学硕士)、
基础数学、计算数学和应用数学专业的硕士研究生《高等代数》科目的入学考试。
考试方式为闭卷笔试，考试时间为 180 分钟，考试参考书目为：《高等代数》第三
版，王萼芳，石生明修订，高等教育出版社，2003 年 7 月，《高等代数》第五版，
张禾瑞，郝鈵新 编，高等教育出版社，2007 年 6 月。
高等代数是数学类研究生必须掌握的专业基础课，因此《高等代数》的考试目
的是考核考生对《高等代数》课程的基本理论体系和知识结构的掌握情况及熟练程
度，检测考生抽象思维和逻辑推理能力，以及综合运用各知识点解决问题的能力，
要求考生概念清楚，对定理理解准确，扎实掌握，还要求有较强的计算能力，对高
等代数的方法能灵活应用。
第一章 多项式
多项式理论是高等代数的重要内容之一。虽然它在高等代数的课程中是一个相
对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲的内容提供了理论依据。多项式理
论中的一些重要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决问题时常常要用到。一
元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论。最基本的结论是带余除
法定理、最大公因式的存在定理、因式分解的唯一性定理。把握这两个重点及这三
个定理非常重要。
一、章节综述及学习要求
本章包含了多项式的定义及整除的概念，因式分解定理、代数学基本定理，复
数域、实数域、有理数域上的因式分解定理。要求掌握本章的相关概念及其相应的
性质。
二、考核知识点
1、一元多项式
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2、整除的概念
3、最大公因式
4、因式分解定理
5、重因式
6、多项式函数
7、复系数与实系数多项式的因式分解
8、有理系数多项式
第二章 行列式
一、章节综述及学习要求
行列式是高等代数中的一个基本概念，它是在求解线性方程组的过程中得到的
概念。一方面它不仅成为讨论线性方程组的有力工具，而且在求矩阵的秩、求逆矩
阵、判断向量组的线性相关性以及求矩阵的特征值、判断二次型的正定性与负定性
方面都至关重要。另一方面，它自身也发展成为重要的数学工具，在许多学科领域
有着广泛的应用。因此应重点掌握行列式的性质及其计算，特别要熟练掌握一些基
本的计算方法。
二、考核知识点
1、排列
2、 n 级行列式定义
3、 n 级行列式的性质
4、行列式的计算
5、行列式按一行(列)展开
6、克拉默法则
7、行列式的乘法规则
第三章 线性方程组
一、章节综述及学习要求
无论在科学研究领域，还是在工程技术应用中，大量的实际问题都可以划归为
求解线性方程组。因此研究线性方程组的求解问题不但是代数学研究的一个重要内
容，而且线性方程组的理论在数学的其他分支及其它学科领域都着广泛的应用。本
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章从矩阵的秩的观点来讨论线性方程组解的存在性和解的个数问题，从 n 维向量的
线性表示的观点给出了线性方程组解的结构问题。由于线性方程组提出的基本问题
已经得到完满解决，因此本章介绍的知识，从内容到方法都应该熟练掌握。
二、考核知识点
1、消元法
2、 n 维向量空间
3、线性相关性
4、矩阵的秩
5、线性方程组有解的判别定理
6、线性方程组解的结构
第四章 矩阵
一、章节综述及学习要求
行列式只能用来讨论一类特殊的线性方程组的求解问题，对于一般的线性方程
组的求解，需要引进一个重要的数学工具—矩阵。矩阵理论是高等代数的主要内容
哦南方之一，同时它在数学领域和其他学科与工程技术领域也是一个十分重要的工
具。因此应该掌握矩阵的相关运算。
二、考核知识点
1、矩阵的概念
2、矩阵的运算
3、矩阵乘积的行列式与秩
4、矩阵的逆
5、矩阵的分块
6、初等矩阵
7、分块乘法的初等变换及应用
第五章 二次型
一、章节综述及学习要求
二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面为标准形的问题.它不
仅在几何和数学分析中经常用到,而且在其它学科及工程技术中被广泛应用.本章通
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过矩阵的乘法将二次型与对称矩阵联系起来，这样二次型的问题与对称矩阵的问题
就可以相互转化进行研究。特别正定二次型是一类重要的、典型的二次型，因此正
定二次型与正定矩阵的判定与证明都是非常重要的内容。
二、考核知识点
1、二次型的矩阵表示
2、标准形
3、唯一性
4、正定二次型
第六章 线性空间
一、章节综述及学习要求
线性空间是高等代数的主要研究对象。线性空间是二维、三维几何空间与 n 维
向量空间的推广。线性空间是在不考虑集合的对象，抽去它们的具体属性，用公理
化定义的数学结构。在这种结构之下，就可以统一的处理很多数学对象。线性空间
里重要的一个概念就是基、维数与坐标。因为有了基之后，空间、子空间都可以由
其基来表示，无限多的元素即可由有限个元素来表示，使得空间结构清晰明了；有
了坐标的概念 ,可以建立抽象的线性空间与 n
P 的同构关系；另外一个重点内容就是
子空间的和与直和，借助于直和的分解，就可以将整个线性空间的研究归结为若干
个较为简单的子空间的研究。
二、考核知识点
1、集合、映射
2、线性空间的定义与简单性质
3、维数、基与坐标
4、基变换与坐标变换
5、线性子空间
6、子空间的交与和
7、子空间的直和
8、线性空间的同构
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第七章 线性变换
一、章节综述及学习要求
线性变换反映了线性空间元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广。
高等代数里主要讨论有限维空间上的线性变换及其运算、线性变换的矩阵表示及线
性变换的特征值与特征向量。线性变换与矩阵的特征值特征向量及计算是本章重要
的内容之一。借助于特征值、特征向量使得矩阵的对角化问题也得以完满解决，简
化了矩阵方幂计算。基的变化对与矩阵的对应关系及利用不变子空间讨论空间的分
解也是本章的重点内容。
二、考核知识点
1、线性变换的定义
2、线性变换的运算
3、线性变换的矩阵
4、特征值与特征向量
5、对角矩阵
6、线性变换的值域与核
7 不变子空间
8、若当(Jordan)标准形介绍，最小多项式；
第八章  -矩阵
一、章节综述及学习要求
一般直接处理矩阵的相似关系是比较困难。本章引入  —矩阵，其目的主要是
将矩阵的相似问题转化为它们的特征矩阵 E A  与 E B  的等价问题研究，而等价
问题可以使用较为简便的初等变换来研究。了解  —矩阵的不变因子、行列式因子
及初等因子概念。掌握它们的性质、相互之间的关系以及它们的求法；掌握矩阵的
(Jordan)标准形及有理标准形的求法。
二、考核知识点
1、  —矩阵
2、  —矩阵在初等变换下的标准形
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3、不变因子
4、 矩阵相似的条件
5、初等因子
6、若当(Jordan)标准形的理论推导
第九章 欧几里得空间
一、章节综述及学习要求
线性空间虽然是二维、三维几何空间的推广，但是几何空间中向量的度量性质，
诸如长度，夹角，正交等概念，在线性空间中没有体现。欧式空间正是为了弥补这
一不足而引入。本章通过在实数域上的线性空间内引入内积的概念得到欧式空间，
于是有了向量的长度、夹角、正交等几何概念，特别在欧式空间中引入标准正交基
的概念之后，使得向量之间的运算大为简化。要求理解和掌握标准正交基的概念及
其性质，能熟练运用施密特正交化方法改造基为标准正交基。
欧氏空间中的正交变换与对称变换在标准正交基下对应着正交矩阵及实对称矩
阵这两种特殊矩阵，要求掌握正交变换与对称变换的概念及其性质，对于实对称矩
阵能熟练的将其正交对角化。线性空间中关于某个子空间的直和分解是不唯一的，
但是在欧氏空间中关于某个子空间的正交补的直和分解是唯一的。要求掌握子空间
的正交补的概念及其基本性质，会求某些子空间的正交补。
二、考核知识点
1、定义与基本性质
2、标准正交基
3、同构
4、正交变换
5、子空间
6、实对称矩阵的标准形