2020年湘潭大学数学分析考研大纲

湘潭大学 href="http://www.kaoyanmiji.com/shijuan/school/802519_1575460_2633511.html" target=_blank>湘潭大学 2017 年硕士研究生入学考试自命题科目湘潭大学考研大纲
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科目名称湘潭大学考研大纲
数学分析适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对数学分
析的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考
查的知识要点如下：
1．集合与映射：集合与映射的概念及运算，一元函数的概念，初
等函数，复合函数，函数的分段表示，隐式表示，参数表示，函数的奇
偶性、单调性、周期性和有界性，三角不等式与均值不等式。
2．数列的极限：实数系，最大数与最小数，上确界与下确界的概
念，实数系的连续性，数列极限的定义, 数列极限的性质，数列
极限的四则运算法则，无穷小量与无穷大量的概念，Stolz 定理, 单调有
界数列必有极限，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy 收
敛原理。
3．函数极限与连续函数：函数极限的概念、性质和四则运算法则，
函数极限与数列极限的关系，单侧极限，函数极限定义的扩充，连续的
概念，连续函数的四则运算法则，不连续点的类型，反函数的连续性，
复合函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有
界性定理，最值定理，介值定理，零点存在定理，一致连续概念，Cantor
定理.）。
4．导数：导数的概念，几何意义，基本初等函数的求导公式，求
导的四则运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，用参数方程表示
的函数的求导法，可导与连续的关系，微分的概念及四则运算法则，复
合函数的微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数、高阶微分的概念，
高阶导数的运算法则，一些简单函数的高阶导数、高阶微分。
5．微分中值定理及应用：罗尔定理、Lagrange 中值定理，Cauchy
中值定理，L’Hospital 法则，Taylor 公式，一元函数单调性的概念及判
别，极值的概念及求法，函数的最值的求法，函数图形的凹凸性和拐点，
渐近线的概念及求法，函数图形的描绘。
6．不定积分：不定积分的概念，不定积分的基本公式及运算法则，
换元法，分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理分式的积分。
7．定积分：定积分的概念，Darboux 大和与 Darboux 小和的概念，
Riemann 可积的充分必要条件，可积函数类（连续函数，只有有限个间
断点的函数，单调有界函数），定积分的基本性质，积分第一中值定理，
基本积分不等式，Newton-Leibniz 公式，定积分的换元法与分步积分法，
定积分的应用。
8．反常积分：反常积分收敛和发散的概念，Cauchy 收敛原理，比
较判别法，Cauchy 判别法，积分第二中值定理，Abel 判别法，Dirichlet
判别法，Cauchy 积分主值的概念及计算。
9．数项级数：数项级数的收敛与发散的概念，级数的基本性质，
Cauchy 收敛准则，正项级数的收敛原理及判别法（比较判别法，Cauchy
判别法，D’Alembert 判别法，积分判别法），交错级数，Leibniz 判别法，
绝对收敛与条件收敛概念， Abel 变换，Abel 判别法，Dirchlet 判别法,
绝对收敛级数的性质。
10. 函数项级数: 一致收敛的概念及性质（和函数连续性，逐项求
导，逐项求积），一致收敛的判别法（Weiezstzass 判别法，Abel 判别法，
Dirichlet 判别法），Dini 定理），幂级数的收敛半径，幂级数的性质（连
续性，逐项求导，逐项求积），函数的幂级数展开，用多项式逼近连续
函数。
11. 欧几里得空间上的极限和连续: 欧几里得空间上的距离与极
限，开集、闭集、紧集的概念，欧几里得空间上的基本定理，多元函数
极限的概念及性质，累次极限，多元连续函数的概念及性质，紧集上连
续函数的性质。
12. 多元函数的微分学：偏导数和全微分的概念，可微与可导、可
微与连续的关系，高阶偏导数，高阶全微分的概念及计算，多元复合函
数求导的链式法则，一阶微分形式的不变性，中值定理与 Taylor 公式，
隐函数的存在性，反函数的存在性，隐函数的导数，空间曲线的切线与
法平面，空间曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其求法，条件极
值的概念及求法。
13. 重积分：重积分的概念及性质，二重积分的计算（直角坐标，
极坐标及一般的坐标变换）及应用，三重积分的计算（三重积分化为累
次积分，直角坐标、柱面坐标、球面坐标及一般换元法），反常重积分
收敛与发散的概念及判别。
14. 曲线积分与曲面积分：第一类曲线积分与第一类曲面积分的概
念、性质及计算，第二类曲线积分与第二类曲面积分的概念、性质及计
算，Green 公式，平面曲线积分与路径无关性，Gauss 公式，Stokes 公
式。
15. 含参变量的积分：含参变量的常义积分的概念及性质（连续性，
积分号下求导，积分次序的交换），含参变量反常积分一致收敛的概念
及性质（连续性，积分号下求导数，积分次序的交换），一致收敛判别
法，B 函数，Г 函数，Stirling 公式。
16. Fourier 级数：函数的 Fourier 级数展开，Fourier 级数的收敛判
别法，Fourier 级数的分析性质与逼近性质。