2020年湘潭大学高等代数考研大纲

湘潭大学 href="http://www.kaoboinfo.com/802519_1575460_2633511.html" target=_blank>湘潭大学 2017 年硕士研究生入学考试自命题科目湘潭大学考研大纲
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科目名称 湘潭大学考研大纲
高等代数 适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对高
等代数的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用
能力。考查的知识要点如下：
1．多项式：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，整
除的概念和常用性质，带余除法，辗转相除法，最大公因式的概念
和性质，不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理，标
准分解式的概念，重因式的概念、性质及一多项式有无重因式的判
别方法，多项式函数的概念、性质及根，代数基本定理，复系数与
实系数多项式的因式分解定理，有理系数多项式、整系数多项式和
本原多项式的概念、性质及相互关系，整系数多项式的有理根的求
法，Eisenstein 判别法。
2．行列式：n 级排列的概念和性质，n 级行列式的概念、性质
及计算方法，矩阵的概念及其初等变换，行列式按一行（列）展开，
代数余子式，范德蒙行列式，克兰姆（Cramer）法则及应用。
3．线性方程组：消元法，n 维向量空间的概念和运算性质，线
性相（无）关性的概念和性质，矩阵的 k 级子式，矩阵的秩的概念、
性质及与行列式的关系，线性方程组有解判别定理，线性方程组解
的结构。
4．矩阵：矩阵的概念与运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵
的逆的概念、性质及求法，矩阵分块的概念和分块矩阵的运算，初
等矩阵及与矩阵的初等变换的关系，分块乘法的初等变换及应用。
5．二次型：二次型的矩阵表示，矩阵的合同关系，对称矩阵
的概念和性质，用非退化线性变换化二次型为标准形，实、复二次
型的规范型，惯性定理与惯性指数，正定、半正定二次型的概念、
性质及判别方法。
6．线性空间：集合、映射的定义与运算性质，线性空间的定
义与简单性质，维数、基与坐标的概念和性质，基变换与坐标变换，
线性子空间的概念和性质，子空间的交与和的概念及性质，子空间
的直和的定义及判别准则，线性空间的同构，同构映射的概念和性
质。
7．线性变换：线性变换的定义、运算及其简单性质，线性变
换的矩阵及其性质，矩阵的相似关系的定义及其性质，特征多项式、
特征值与特征向量的定义、性质及计算，线性变换在某一组基下的
矩阵为对角矩阵的条件（即矩阵相似于对角矩阵的条件），线性变
换的值域与核的概念及性质，不变子空间的概念，不变子空间与线
性变换矩阵化简之间的关系，若当（Jordan）标准形的概念及应用，
最小多项式的概念和性质及求法。
8．λ-矩阵：λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换，λ-矩阵在初
等变换下的标准形，行列式因子、不变因子和初等因子的定义、性
质及求法，矩阵相似的条件，复矩阵若当（Jordan）标准形的计算。
9．欧几里得空间：欧几里得空间（含内积）的定义与基本性
质，欧几里得空间中基的度量矩阵，正交向量组、正交基、标准正
交基的定义、基本性质及相互关系，施密特正交化方法，欧几里得
空间的同构，正交变换、正交矩阵的定义和性质，子空间的正交关
系，对称变换、实对称矩阵的性质及其标准形的求法，酉空间的概
念和性质。