2018年集美大学高等代数考研大纲

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集美大学 2018 年硕士研究生入学考试初试自主命题考试大纲
考试科目代码：[805]
考试科目名称：高等代数
一、考核目标
（一）考查考生对高等代数的基本概念、主要理论、重要方法的掌握程度。
（二）考查考生的数学抽象思维、逻辑推理及运算求解能力，提高分析问题、解
决问题能力。
二、试卷结构
（一）考试时间：180 分钟，满分：150 分
（二）题型结构
1、填空题：6 小题，每小题 5 分，共 30 分
2、解答题：7 小题，每小题 15 或 20 分，共 120 分
三、答题方式
闭卷笔试
四、考试内容
（一）多项式，20 分
考试内容：
整除理论、因式分解理论、根的理论。
考试要求：
（1）理解带余除法、整除、最大公因式、互素、重因式、根等有关结论。
（2）掌握不可约多项式的判别与证明、综合除法、标准分解式与有理根的求
法。
（3）理解矩阵或线性变换的多项式。
（二）行列式与线性方程组，20 分
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考试内容：
行列式的计算、线性方程组解的理论。
考试要求：
（1）理解行列式概念，掌握行列式的常用计算方法；了解行列式与方程组、
可逆矩阵、矩阵秩、二次型、特征值等的关系。
（2）理解线性方程组解的求法、判定与结构，掌握含参数线性方程组的讨
论与求解，理解齐次方程组的基础解系或解空间与系数矩阵秩的关系。
（三）矩阵，20 分
考试内容：
矩阵的运算、矩阵的秩与矩阵的分解、分块矩阵及其初等变换的应用。
考试要求：
（1）掌握矩阵的各种运算、矩阵的秩、可逆矩阵。
（2）了解初等矩阵与初等变换的关系、矩阵分解、分块矩阵及其应用。
（四）二次型，20 分
考试内容：
标准形与规范形、正定问题。
考试要求：
（1）掌握化二次型为标准形或规范形的方法、正定问题的判定与证明。
（2）了解合同、负定、半正定的概念。
（五）线性空间，20 分
考试内容：
向量组的线性相关性、基、维数和坐标、子空间的和与直和。
考试要求：
（1）了解线性空间的概念、性质以及同构思想。
（2）理解向量组线性无关的常规证法，基与维数的求法与证明。
（3）掌握子空间直和的证明。
（六）线性变换，20 分
考试内容：
线性变换的概念、线性变换的矩阵、相似、特征值特征向量与对角化、值域、
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核与不变子空间。
考试要求：
（1）了解线性变换与方阵的同构对应关系。
（2）理解线性变换、值域与核、不变子空间的概念。
（3）会求线性变换在基下的矩阵，理解相似的概念与性质。
（4）掌握特征值与特征向量的求法与证明，对角化问题的判别与讨论。
（七）Jordan 标准形，10 分
考试内容：
最小多项式、Jordan 标准形。
考试要求：
（1）了解不变因子、初等因子的求法以及与矩阵相似的关系。
（2）理解最小多项式的概念与基本性质，掌握 Jordan 标准形的求法与应用。
（八）欧氏空间，20 分
考试内容：
内积与标准正交基、正交变换和对称变换。
考试要求：
（1）了解欧氏空间、正交补的概念，理解标准正交基的性质及其求法。
（2）理解正交变换和对称变换的主要特征及相关证明，
（3）掌握实对称矩阵的正交对角化的计算，利用实对称矩阵性质进一步讨
论正定问题。
五、主要参考书目
（一）北京大学数学系主编：《高等代数》（第三版），高等教育出版社，2003 版
（二）徐仲等主编：《高等代数导教导学导考》，西北工业大学出版社，2004 版