2017年河南工业大学高等代数考研大纲

《高等代数》考试大纲
科目名称：高等代数
科目代码：834
一、 考试目的
本考试大纲适用于报考河南工业大学理学院数学专业的硕士研究生《高等代数》科目的
入学考试。它的主要目的是测试考生是否系统地学习和掌握了高等代数的知识，代数的思维
方式，以及现代数学的思想和方法．要求考生具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能
力和运算能力。
二、考试的性质与范围
本考试是一种测试应试者综合运用所学的《高等代数》的知识的尺度参照性水平考试。
考试范围包括高等代数的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决代数问题
的能力。
三、考试基本要求
1. 熟练掌握高等代数的基本概念、命题、定理；
2. 综合运用所学的高等代数的知识的能力
四、考试形式
闭卷
五、考试题型
计算题、证明题
六、考试内容（或知识点）
1.多项式
数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，复系数与实系
数多项式的因式分解，有理系数多项式。
2、行列式
排列，n 级行列式的定义和性质，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer）法则，
范德蒙行列式，拉普拉斯（Laplace）定理，k 级子式。
3. 线性方程组
消元法，n 维向量空间，线性相关性，向量组和矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，
线性方程组解的结构。
4. 矩阵
矩阵的概念，矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式与秩，矩
阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法的初等变换，对称矩阵和反对
称矩阵，正交矩阵，施密特正交化过程。
5. 二次型
线性替换，n 元二次型，二次型的矩阵，标准型，规范形，惯性定理，正定（半正定）
二次型。
6. 线性空间
集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性
子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。
7. 线性变换
线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，线性变换的
矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，线性变换的值域与核，不变子空间。
8. λ -矩阵
λ -矩阵的定义，λ -矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因
子，若当（Jordan）标准形，最小多项式。
9. 欧几里得空间
定义与基本性质，标准正交基，同构，子空间，正交变换的定义和性质，对称变换的定
义和性质。
七、参考书目
(1) 高等代数. 北京大学数学系. 高等教育出版社，出版年 2003.
八、样卷(附后)
河南工业大学
2015 年硕士研究生入学考试试题
考试科目： 837 高等代数(A) 共 2 页（第 1 页）
注意：1、本试题纸上不答题，所有答案均写在答题纸上
2、本试题纸必须连同答题纸一起上交。
一、（15 分）计算行列式 )( ba
xaaa
bxaa
bbxa
bbbx
D n






。
二、（15 分）设 A 是 nm  矩阵， t
 ,,, 21
 是齐次线性方程组 0AX 的基础解系， 是齐次线性方程
组 bAX  的一个解，证明：
(1) t
  ,,,, 21
线性无关；
(2) bAX  的任意一个解可以由 t
  ,,,, 21
线性表示。
三、（15 分）已知 BA, 为 3 阶矩阵，且满足 EBBA 42
1


,其中 E 为 3 阶单位矩阵。
)1( 证明 EA 2 可逆； )2( 若









 

200
021
021
B ，求矩阵 A 。
四、（15 分）已知 BA, 为 4 阶矩阵，若满足 2)(,02  BrBAB ，且行列式 02  EAEA 。
)1( 求矩阵 A 的特征值； )2( 证明矩阵 A 可相似对角化； )3( 计算行列式 EA 3 。
五、（15 分）设有三元二次型 AXXxxxf
T
),,( 321 ，其矩阵 A 主对角线元素之和为 3 ，且满足
0 BAB ，其中












211
110
101
B 。
（1）用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换；
（2）求此二次型； （3）求 )()( EArEAr  。
六、（15 分）设 1
V 与 2
V 分别是齐次线性方程组 02211
 nn
xkxkxk  与 n
xxx  21 的解空间,
其中 n
kkk ,, 21 是 P 中的一组给定的满足 021
 n
kkk  的数,证明： 21
VVP
n
 。
七、（15 分）若 A 是 n 阶矩阵,当有一个常数项不为零的多项式 )(xf ,使 0)( Af ,则 A 的特征值一定全不
为 0 。
八、（15 分）设













201
034
011
A ，求 n
A 。
九、（15 分）设V 是 n 维线性空间， 21
,VV 是V 的子空间，如果 nVV  21
dimdim .
证明：存在线性变换 VV  : ，使 2
1
1
)0(, VVV 

。
十、（15 分）证明：如果 ,1))(),((,1))(),((  xhxfxgxf 则 1))()(),(( xhxgxf 。