2017年长沙理工大学复试1001实变函数考研大纲

科目代码：F1001 科目名称：实变函数
一、考试要求
主要考察考生是否掌握了实变函数的基本概念、基本理论和基本
方法，包括集合的势与对等、Borel集类、Lebesgue测度、可测函数、
可测函数的收敛、Lebesgue积分等的基本概念；集合序列的上下限集、
可测集经交并差运算、Lebesgue积分等的计算方法，Cantor 集的构
造、可测函数“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”
之间的关系，Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同，一般可测函
数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系，
Lebesgue积分的极限定理等；以及是否具备运用基本理论和基本方法，
分析解决问题的能力。
二、考试内容
1、集合的基本运算；集合序列的上、下限集。集合的势的定义，
势的性质，势的比较。常见集合的势及其基本性质；
2、n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念，
明确开集的构造.理解完备集的概念,特别要掌握Cantor 集；
3、外测度概念，外测度与体积的关系，可测集的定义及其性质，
包括可测集经交、并、差运算后的可测性，可数个可测集的交集或并
集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。Borel集
类；Lebesgue可测集的结构；
4、可测函数的概念,可测函数的特征性质,简单函数的有关性质。
掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念和
它们之间的关系；
5、一般可测函数积分的定义，Lebesgue积分与广义Riemann积分
的异同，一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积
性之间的关系。Lebesgue积分的极限定理，包括Levi定理、Fatou引
理、 Lebesue控制收敛定理及其应用，Riemann可积的充要条件。掌
握L 积分的概念,理解L 积分和R 积分的关系.掌握L 积分的性质,对
有关L 积分的三个极限定理及其应用。
三、题型
试卷满分为 100 分，其中：判断题占 30%，计算分析题占 20%，证明
题占 50%。
四、参考教材
1．《实变函数与泛函分析基础》(第三版)．程其襄等．高等教育
出版社，2010。
2．《实变函数与泛函分析概要》（第三版）．郑维行、王声望主编．高
等教育出版社，2005。