2017年青岛理工大学专业综合考研复试大纲复试大纲

应用数学——专业综合考试基本要求
第一部分数学物理方程
一、一维波动方程
要求掌握：一维波动方程的建立；定解问题的提出；齐次方程混合问题的 Fourier 解
法（分离变量法）；电报方程；强迫振动，非齐次方程的求解。
二、热传导方程
要求掌握：热传导方程的建立；热传导方程的 Fourier 级数解；初值问题的 Fourier
积分解；一端有界的热传导问题。
三、调和方程圆的边值问题
要求掌握：圆的 Dirichlet 问题的提法； Fourier 级数解；函数的引入、性质
四、波动方程
要求掌握：初值问题达 D’Alembert 解的提出；解的物理意义；依赖区间、决定区域和
影响区域。高维波动方程的初值问题；降维法；解的物理意义；非齐次波动方程；推迟势。
五、调和方程解的积分公式
要求掌握：Green 公式；调和函数的基本性质；调和方程球的 Dirichlet 问题的积分公
式；Green 函数；Laplace 方程 Dirichlet 问题解的 Green 函数表示；Poisson 方程的导出；
Poisson 方程 Green 问题的积分公式。
六、定解问题的适定性
要求掌握：适定性的定义和反向问题的不适定性。
第二部分复变函数
一、复数与复变函数
理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷
远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；
理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质。
二、解析函数
理解解析函数的定义、性质及其充分必要条件；了解函数在一点解析与函数在一点可
微的区别，熟练掌握利用 Cauchy-Riemann 条件判别解析函数的方法；掌握指数函数、三角
函数的定义和性质，注意与实指数函数、实三角函数的区别；了解初等多值函数单值化方法
（限制辐角或割破平面）；熟练掌握解析函数在单叶性区域内由初值确定终值；理解反三角
函数、一般幂函数、一般指数函数的定义与计算。
三、复变函数的积分
理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法；理解 Cauchy 积分定理，熟练掌握
利用 Cauchy 积分定理计算函数沿闭曲线的积分；理解 Cauchy 积分定理的推广；理解 Cauchy
积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用 Cauchy 积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲
线的积分；了解解析函数的无穷可微性；了解 Cauchy 不等式与 Liouville 定理，掌握其证
明方法；掌握利用 Morera 定理判断解析函数的方法；熟练掌握已知解析函数的实部（或虚
部），求该解析函数的方法。
四、解析函数的幂级数表示法
了解复级数的基本概念；掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义
及判别方法；理解解析函数项级数的和函数的性质；理解幂级数的敛散性；理解收敛圆、收
敛半径的概念；了解幂级数和的解析性；理解解析函数的幂级数表示；熟练掌握一些初等函
数的泰勒展式；了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性；理解解析函数的零点孤
立性、唯一性定理、最大模原理。
五、解析函数的 Laurent 展式与孤立奇点
了解双边幂级数的有关概念；了解 Laurent 定理，熟练掌握将解析函数分别在指定圆环
和孤立奇点去心邻域内展成 Laurent 级数的方法；了解 Laurent 级数与 Taylor 级数的关系；
理解孤立奇点的概念，掌握判断孤立奇点类型的方法；了解解析函数在孤立奇点去心邻域内
的性质；掌握解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。
六、留数理论及其应用
理解留数的定义，熟练掌握留数的求法；理解留数定理，掌握利用 Cauchy 留数定理计
算函数沿闭曲线的积分；熟练掌握用留数定理计算实积分；了解对数留数的概念；理解辐角
原理、Rouche 定理，熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法。
七、共形映射
了解解析变换的特性（保域性、保角性、共形性）；理解分式线性变换的映射性质，掌
握将区域 D 共形映射为区域 G 的分式线形变换；了解幂函数、指数函数、根式函数、对数
函数的映射性质，掌握它们所构成的共形映射。