2017年江西理工大学数学考研大纲

0701 数学
业务课（自命题）考试大纲、考试题型及分值分布
（1）《数学分析》考试大纲
一、总体要求
数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微
分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生比较系统地理
解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生
具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和
解决问题的能力。
二、考试知识点及考核要求
(一) 实数集与函数
1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;
2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理;
3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；
4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；
弄清区间和邻域的概念, 理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；
掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。
(二) 数列极限
1、极限概念；
2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；
3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。
要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用 -N 语言处理极限问题；掌
握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；了
解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系；了解无穷小数列的概念及其
与数列极限的关系.
(三) 函数极限
1、函数极限的概念，单侧极限的概念；
2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；
3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine 定理），柯西准则；
4、两个重要极限；
5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。
要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用 -, -X 语言处理极限问题；了解
函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重
要极限处理极限问题。
(四) 函数连续
1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及
其分类；
2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有
界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；
3、初等函数的连续性。
要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断
点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上
连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。
（五） 导数与微分
1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；
2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复
合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；
3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；
4、高阶导数与高阶微分。
要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质
和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解
导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。
（六） 微分学基本定理
1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
*
；
2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；
3、泰勒公式。
要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能
够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限
（七） 导数的应用
1、函数的单调性与极值；
2、函数凹凸性与拐点.
要求：了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，
能利用函数的特性解决相关的实际问题。
（八） 实数完备性定理及应用
1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存
在定理、聚点定理、有限覆盖定理；
2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，
介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；
3、上、下极限
*
。
要求：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；理解聚点的概念，
上、下极限的概念。
（九） 不定积分
1、不定积分概念；
2、换元积分法与分部积分法；
3、几类可化为有理函数的积分；
要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、
简单无理式和三角有理式积分法。
（十） 定积分
1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；
2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续
函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；
3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；
4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷
与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。
要求：理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可
积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积
分法，分部积分法计算一些定积分。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概
念；能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。
（十一） 定积分的应用
1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋
转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；
2、定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力。
要求：重点掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；理解并掌握"微元法"。
（十二） 数项级数
1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；
2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；
3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，
阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
要求：理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；
能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数
与 p 级数。
（十三） 函数项级数
1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别
法）；
2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。
要求：掌握收敛域、极限函数与和函数一致收敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析
性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。
（十四） 幂级数
1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数
的分析性质；
2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。
要求：了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；
会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接
展开法求函数的泰勒展开式
（十五） 付里叶级数
1、付里叶级数：三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数, 以２ 为周期函
数的付里叶级数, 收敛定理；
2、以 2L 为周期的付里叶级数；
3、收敛定理的证明。
要求：理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；掌握傅里叶级数收敛性判
别法；能将一些函数展开成傅里叶级数；了解收敛定理的证明。
（十六） 多元函数极限与连续
1、平面点集与多元函数的概念；
2、二元函数的极限、累次极限；
3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续
性。
要求：理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性
概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解闭区域套定理，有限覆盖定理，多元连续函数
的性质。
（十七） 多元函数的微分学
1、可微性：偏导数的概念 ，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续
性与可微性，偏导数与可微性；
2、多元复合函数微分法及求导公式；
3、方向导数与梯度；
4、泰勒定理与极值。
要求：理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄
清全微分、偏导数、连续之间的关系；了解泰勒公式；会求函数的极值、最值。
（十八） 隐函数定理及其应用
1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；
2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；
3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法
线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。
要求：了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数；了解隐函数组的概
念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切
平面方程和法线方程；了解条件极值概念及求法。
（十九） 重积分
1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；
2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；
3、含参变量的积分；
4、三重积分计算：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐
标变换）；
5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；
6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，
一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的 M 判别法)，含
参变量非正常积分的分析性质；
7、欧拉积分
*
：格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。
要求：了解含参变量定积分的概念与性质；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计
算及基本应用；了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念；理解含参变量非正常积
分一致收敛的判别定理，并掌握它们的应用；了解欧拉积分。
（二十） 曲线积分与曲面积分
1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；
2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；
3、格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全微分；
4、第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;
5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性；
6、场论初步
*
：
*
场的概念，梯度，
*
散度和旋度。
要求：掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系和
两类曲面积分的关系；熟练掌握格林公式的证明及其应用，会利用高斯公式、斯托克斯公式
计算一些曲面积分与曲线积分；了解场论的初步知识。
三、考试题型及比例
计算题： 60%左右；证明题： 40%左右
四、考试形式及时间
考试形式为闭卷笔试，试卷总分值为 150 分，考试时间为三小时。
五、主要参考教材
教材：《数学分析》第四版，华东师范大学编著，上、下册，高等教育出版社，
2010 年 7 月
参考书：《数学分析》第二版，复旦大学数学系，陈传璋等，1983 年 7 月
刘玉琏、傅沛仁编 数学分析讲义 北京：高等教育出版社，1992 年 6
月第 3 版
《数学分析学习指导书》上、下册， 吴良森等编， 高等教育出版社，
2004 年 9 月
（2）《高等代数》考试大纲
一、总体要求
高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业
学生的必修基础课。它的主要内容包括多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其
标准形、特征值和特征向量、线性变换和矩阵范数。要求考生比较系统地理解高
等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有
抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决
问题的能力。
二、考试知识点及考核要求
（一）多项式
考试内容
数域 有理数域 实数域 复数域等概念 一元多项式的概念及其计算 多项式的整除因
式 公因式 最大公因式 互素 用辗转相除法求最大公因式 不可约多项式 可约多项式 因
式分解及唯一性定理 多项式的导数 重因式 单因式 根 重根 单根 多项式有重因式的判别
方法 代数学基本定理 实数域、复数域上多项式因式分解定理 求有理系数多项式的全部有
理根
考试要求
1.了解数域、有理数域、实数域、复数域等概念。
2.了解一元多项式的概念及其计算。
3.了解多项式的整除、因式、公因式、最大公因式、互素的概念。
4.会用辗转相除法求最大公因式。
5.了解不可约多项式、可约多项式的概念，掌握因式分解及唯一性定理。
6.了解多项式的导数、重因式、单因式、根、重根、单根等概念，掌握多项式有重因
式的判别方法，掌握代数学基本定理。掌握实数域、复数域上多项式因式分解定理。
7.会求有理系数多项式的全部有理根。
（二） 行列式
考试内容
n 阶行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 拉普拉斯定理 克莱姆法则
考试要求
1.了解 n 阶行列式的定义。
2.掌握理解行列式的性质，掌握行列式计算，会利用行列式的性质计算较复杂的 n 阶
行列式。
3.了解拉普拉斯定理，掌握行列式的乘法定理。
4.掌握克莱姆法则。
（三） 线性方程组
考试内容
n 维向量的定义 向量的数乘和加法运算 向量组的线性组合 线性表示 线性相关 线性
无关 等价 极大无关组向量组的秩 矩阵的秩 线性方程组的消元法 齐次线性方程组有非
零解的充要条件 非齐次线性方程组有解的充要条件 齐次线性方程组的基础解系、通解及解
空间的概念 用行初等变换求线性方程组通解的方法
考试要求
1.理解 n 维向量的定义，掌握向量的数乘和加法运算。
2.理解向量组的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、等价、极大无关组、秩
的概念。掌握与此相应的重要结论。
3.理解矩阵的秩的概念并掌握相关结论。
4.掌握求向量组的极大无关组、秩的方法。
5.理解线性方程组的消元法原理。理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非
齐次线性方程组有解的充要条件。
6.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。
7.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。
（四） 矩阵
考试内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律 伴随矩阵 逆矩阵 矩
阵可逆的充要条件 矩阵的初等变换 矩阵等价 初等矩阵 用初等变换
求逆阵 矩阵分块概念 矩阵分块运算。
考试要求
1.理解矩阵的概念，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律。
2.理解矩阵的概念，理解伴随矩阵的概念，会用伴随求矩阵。掌握逆矩阵的性质，掌
握矩阵可逆的充要条件。
3.理解矩阵的初等变换和矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质。掌握用初等变换求
逆阵的方法。
4.掌握矩阵乘积、和的秩的有关结论。
5.了解矩阵分块概念、掌握矩阵分块运算。
（五） 二次型
考试内容
二次型概念 二次型的矩阵表示方法 二次型的标准型、规范型 用配方法求二次型的标
准型 用初变换方法求二次型的标准型 实二次型惯性定理 理解正惯性指数、负惯性指数、
符号差 实二次型分类概念 各类二次型（正定、负定、半正定、半负定、不定）的判别方法
考试要求
1.理解二次型概念，掌握二次型的矩阵表示方法。
2.理解二次型的标准型、规范型的概念，会用配方法求二次型的标准型，掌握用初等
变换方法求二次型的标准型。
3.理解实二次型惯性定理，理解正惯性指数、负惯性指数、符号差等概念。
4. 掌握实二次型分类概念。掌握各类二次型（正定、负定、半正定、半负定、不定）
的判别方法。
（六） 线性空间
考试内容
向量空间的概念 线性空间的维数、基、坐标 基变换、坐标变换的公式 过渡矩阵 线
性子空间 子空间的交与和 维数公式 子空间直和 判别直和的条件 商空间 空间、子空间、
商空间三者维数之间的联系 线性空间同态与同构 有限维线性空间同构的充分必要条件 线
性空间的同态基本定理
考试要求
1.理解向量空间的概念，理解线性空间的维数、基、坐标的概念。
2.掌握基变换、坐标变换的公式，会求过渡阵。
3.理解线性子空间、子空间的交与和的概念，掌握维数公式，掌握判别子空间的方法，
会求子空间交的基、和的基。
4.了解子空间直和的概念，掌握判别直和的条件。
5.了解商空间的概念，会求商空间的基。掌握空间、子空间、商空间三者维数之间的
联系。
6.了解线性空间同态与同构的概念，掌握有限维线性空间同构的充分必要条件，掌握
线性空间的同态基本定理。
（七） 线性变换
考试内容
线性变换的定义 线性变换运算 线性变换的矩阵 特征值 特征向量 特征子空间 特征
多项式 Hamilton-Caylay 定理 线性变换在某组基下矩阵是对角矩阵的充分必要条件 矩
阵与对角矩阵相似的充分必要条件 线性变换的核与值域 线性变换的秩与零度 不变子空间
复数域上线性空间的根子空间直和分解定理
考试要求
1.理解线性变换的定义、运算及其矩阵表示。
2.理解特征值、特征向量、特征子空间、特征多项式等概念，掌握求线性变换、矩阵的
特征值、特征向量的方法、掌握 Hamilton-Caylay 定理。
3.掌握线性变换在某组基下矩阵是对角矩阵的充分必要条件，掌握一个矩阵与对角矩阵
相似的充分必要条件。
4.若矩阵 A 与对角阵相似，会求可逆矩阵 P，化 A 为对角矩阵。
5.理解线性拌和的核与值域的概念，掌握线性变换的秩与零度之和等于线性空间维数的
公式，会求值域与核。
6.理解不变子空间的概念，了解线性变换的矩阵化简和不变子空间的内在联系，掌握复
数域上线性空间的根子空间值和分解定理。
（八） 欧氏空间
考试内容
欧氏空间的定义及其简单性质 标准正交基的概念 用 Schmidt 方法求标准正交基 子空
间的正交以及正交补 正交变换 判别线性变换是正交变换的方法及其充要条件 正交矩阵正
交变换与正交矩阵的联系 对称变换 对称变换与对称矩阵的联系 化对称矩阵为对角阵的方
法 正交变换法化实二次型为标准型 酉空间概念及其性质
考试要求
1.理解欧氏空间的定义及其简单性质。
2.理解标准正交基的概念，会用 Schmidt 方法求标准正交基。
3.理解子空间的正交以及正交补的概念。
4.理解正交变换的概念，掌握判别线性变换是正交变换的方法及其充要条件，理解正交
变换与正交阵的联系。
5.了解 QR 分解及其唯一性问题。
6.掌握对称变换的概念，了解对称变换与对称矩阵联系，掌握化对称矩阵为对角阵的方
法。会用求特征值方法化实二次型为标准型。
7.了解酉空间概念及其性质。
三、考试题型及比例
计算题： 50%左右；证明题： 50%左右。
四、考试形式及时间
考试形式为闭卷笔试，试卷总分值为 150 分，考试时间为三小时。
五、主要参考教材
[1]《高等代数》第四版，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳，石生明
修订，高等教育出版社， 2013 年 8 月.
[2] 复旦大学蒋尔雄等编《线性代数》，人民教育出版社，1988.
[3] 张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社， 1997.