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2017年国防科技大学实变函数考研大纲
2017 年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲科目代码:827 科目名称:实变函数一. 考试要求主要考查学生对集与点集的理解与掌握;对 Lebesgue测度的理解与掌握;对可测函数的理解与掌握;对 Lebesgue积分的理解与掌握;对 LP空间的理解与掌握;以及运用基本理论和方法,分析解决问题的能力。二、考试内容1.集与点集掌握集合的各种运算;理解映射的像、原像的概念及其运算性质;了解集的对等、势的概念及其性质,会证明可数集的基本问题;掌握一维开集、闭集的性质以及内点、极限点、稠密性等若干概念;熟悉康脱集的构造及性质。2.Lebesgue 测度理解外测度的概念与性质,了解内测度的定义,掌握可测集的定义;掌握可测集与测度的性质;了解不可测集的存在性;掌握生成类的概念与性质,了解外测度扩张方法。3.可测函数理解可测函数的概念,掌握函数可测的证明方法;理解“几乎处处”的概念;掌握几乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛的特征、性质以及它们之间的关系;理解 Riesz 定理与叶果洛夫定理,并掌握其证明方法;理解可测函数的构造,掌握鲁津定理。4.Lebesgue 积分理解 Lebesgue 积分的定义,掌握 Lebesgue 积分的基本性质;掌握证明积分基本问题的方法;掌握积分三大极限定理及其基本用法;了解函数常义 R 可积的充要条件,理解 R积分与 L 积分的关系,并会用来计算一类 R 积分值与 L 积分值;理解单调函数、有界变差函数的性质、掌握全连续函数的基本性质、特征及应用;了解 Fubini 定理及应用。5. LP空间理解 LP空间及其上范数的定义,掌握 Hölder 不等式与Minkowski 不等式;理解 LP空间中基本点列、强收敛点列的概念及其相互关系,了解点列弱收敛的概念;理解完备性、稠密性、可分性的概念,理解当 p1 时,LP空间是完备空间,当 p1 时,LP空间是可分空间,掌握完备性与可分性的用法。三、考试形式考试形式为闭卷、笔试,考试时间为 3 小时,满分 150分。题型包括:填空题、证明题、计算题等。四、参考书目郑维行,王声望 编.实变函数与泛函分析概要(第一册).第四版.北京:高等教育出版社,2010.