2015年湖南师范大学常微分方程（新）考研大纲

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码： 考试科目名称：常微分方程
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
常微分方程部分
4)题型结构
A: 填空题，6 小题，每小题 5 分，共 30 分
B: 计算题，5 小题，每小题 10 分，共 50 分
C: 证明题, 2 小题，每小题 10 分，共 20 分
二、考试内容与考试要求
1、常微分方程的基本概念
考试内容
常微分方程的导出及基本概念
考试要求
(1) 理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念。
(2) 掌握常微分方程定义, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特
解，方程和方程组，定解条件和定解问题。
2、一阶微分方程的初等解法
考试内容
变量分离方程与变量变换、线性方程及常数变易法、恰当方程与积分因子、
一阶隐方程与参数表示
考试要求
(1) 掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理
解齐次、非齐次概念。
(2) 熟练掌握线性方程的常数变易法。
(3) 掌握积分因子法。
(4) 掌握一阶隐方程和贝努利方程的解法。
3、一阶微分方程的解的存在定理
考试内容
解的存在唯一性定理与逐步逼近办法、解的延拓、解对初值的连续性和可
微性定理、奇解
考试要求
(1) 掌握 Picard 逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。
(2) 理解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。
(3) 掌握奇解的概念及相关定理。
4、高阶微分方程
考试内容
线性常微分方程的一般理论、常系数线性方程的解法、高阶方程的讲解和
幂级数解法。
考试要求
(1) 熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程.
(2)掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关
系），以及欧拉方程的解法，了解拉普拉斯变换法。
(3)理解掌握高阶方程的降阶和幂级数解法。
5、线性微分方程组
考试内容
存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。
考试要求
(1)理解存在唯一性定理、掌握线性微分方程组的一般理论。
(2)掌握 Picard 逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数
变易公式。
(3)了解矩阵指数的定义及性质、掌握基解矩阵的计算公式及拉普拉斯变
换的应用。
（4）会用消元法求解常系数线性微分方程组。
6、非线性微分方程和稳定性
考试内容
零解的稳定性、相平面、按线性近似决定微分方程组的稳定性，V 函数
方法。
考试要求
(1)掌握零解的几种稳定性概念，会区分在不同条件下的稳定性。
(2)掌握二维线性微分方程孤立奇点的分类，并画出相图。
(3)掌握按线性近似判定奇点的分类与稳定性。
三、参考书目
[1] 《常微分方程》，王高雄编，高等教育出版社