2018年西安理工大学850高等代数考研大纲

西安理工大学研究生招生入学考试
《高等代数》考试大纲
科目代码：850
科目名称：高等代数
第一部分 课程目标与基本要求
一、课程目标
“高等代数”是数学专业的一门重要基础课。本课程是数学学生进一步提高专业知识水平提供必需的代数基础理
论和基本方法，对学生抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力培养，以及后续课的学习起着非常重要的作用。本课
程考查考生对多项式、矩阵、多维空间等的基本概念的理解，对多项式和线性代数特性的基本分析方法
掌握的程度；考查考生基本知识的运用能力。
二、基本要求
“高等代数”课程的任务是研究多项式、行列式、线性方程组、矩阵、矩阵的对角化问题、二次型、线
性空间与线性变换、欧氏空间等的基本概念和基本理论，使学生认识线性代数知识。通过本课程的学习，
学生能运用数学工具正确分析线性系统，使学生具备进一步学习后续课程的理论基础。
第二部分 课程内容与考核目标
第一章 多项式
1、理解多项式的定义、运算及运算规律
2、掌握整除的概念，整除的性质及带余除法定理
3、熟练掌握公因式、最大公因式的定义，最大公因式的存在性定理及最大公因式的求法
4、掌握可约多项式、不可约多项式的概念，不可约多项式的性质
5、理解唯一性分解定理及典型分解式
6、了解多项式的导数、求导法则及重因式的定义，多项式的重因式与其导式的关系及多项式无重因式
的充要条件
7、掌握多项式的值，多项式函数，余式定理，一个数是多项式函数的根的充要条件及多项式相等的充
要条件
8、熟练掌握代数基本定理，根与系数的关系，实系数多项式的性质
9、掌握本原多项式，高斯引理
10、熟练掌握艾森斯坦判断法，整系数多项式有理根的求法
11、了解多元多项式，对称多项式
第二章 行列式
1、掌握线性方程组与行列式的关系，排列及其逆序，奇、偶排列，对换及其作用，求排列的逆序数
2、熟练掌握 n 阶行列式的定义，行列式的基本性质
3、掌握子式和代数余子式，行列式按行（列）展开
4、了解拉普拉斯定理，Vandermonde 行列式
5、熟练掌握计算行列式的若干方法
6、掌握利用克拉默法则求解方程组
第三章 线性方程组
1、掌握线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，利用增广矩阵的初等变换求方程组的解
2、理解掌握向量空间的定义和简单性质，向量的线性组合、线性相关、线性无关
3、熟练掌握向量组的等价、极大线性无关组的定义及性质，基与维数的定义及性质
4、熟练掌握矩阵的子式和秩的定义、求法
5、理解掌握线性方程组可解的判别法，线性方程组的通解
6、掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件
7、了解二元高次方程组
第四章 矩阵
1、理解矩阵的运算和运算规律，矩阵的多项式
2、理解矩阵的转置及其性质
3、熟练掌握可逆矩阵的定义和简单性质
4、熟练掌握初等矩阵，矩阵可逆的充要条件及可逆矩阵的两种求法
5、掌握矩阵乘积的行列式和秩，分块矩阵的运算
第五章 二次型
1、理解二次型的矩阵和秩，二次型与对称矩阵的一一对应
2、掌握二次型等价与矩阵合同之间的关系，合同变换与初等矩阵的关系，将对称矩阵通过合同变换化
为对角形矩阵的方法
3、熟练掌握二次型的等价标准形的存在唯一性，实二次型等价标准形的存在唯一性，实数域上对称矩
阵（二次型）的惯性指标和符号差
4、熟练掌握正定二次型的定义及判断二次型正定的方法
第六章 线性空间
1、理解集合的定义、表示及集合间的关系，映射、单射、满射、双射，恒等映射，合成映射，逆映射
的概念
2、理解线性空间的定义和简单性质
3、理解基与维数的定义及性质
4、掌握向量的坐标，坐标变换公式，基的过渡矩阵和性质
5、熟练掌握线性子空间的定义及判断，生成子空间，基的扩充定理
6、熟练掌握子空间的交与和，子空间的直和
7、掌握和的维数公式
8、了解线性空间的同构
第七章 线性变换
1、理解线性变换的定义和简单性质
2、理解线性变换的运算及其简单性质
3、熟练掌握线性变换关于某个基的矩阵，向量的象的坐标公式，线性变换与矩阵的同构对应，线性变
换在不同基下的矩阵的相似关系
4、熟练掌握特征值和特征向量的定义及求法
5、熟练掌握相似矩阵的特征多项式的性质，矩阵对角化的定义，属于不同特征值的特征向量线性无关
6、掌握不变子空间的定义和简单性质，不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系，线性变换和矩阵可
对角化的充要条件
第八章  -矩阵
1、理解  -矩阵的概念， -矩阵的初等变换及在初等变换下的标准形
2、掌握行列式因子、不变因子的概念，等价的 -矩阵与行列式因子、不变因子的关系， -矩阵可逆
的判定条件
3、熟练掌握矩阵相似的充分必要条件
4、熟练掌握初等因子的概念，初等因子和不变因子的关系，相似矩阵与初等因子、不变因子的关系，
初等因子的求法
5、掌握 Jordan 标准形的理论指导，有理标准形
第九章 欧氏空间和酉空间
1、理解向量的内积，欧氏空间的定义及基本性质，向量的长度、夹角、距离及距离的性质，向量正交
的概念
2、熟练掌握正交向量组的概念及性质，正交化方法，标准正交基，标准正交基的过渡矩阵、正交矩阵
及其简单性质
3、掌握欧氏空间同构的定义，有限维欧氏空间同构的充要条件
4、掌握正交变换的定义和基本性质
5、熟练掌握子空间之间的正交，向量与子空间的正交，子空间正交的性质，正交补的定义及求法
6、掌握对称变换的定义，对称变换和对称矩阵的关系，将一个 n 阶实对称矩阵通过正交矩阵化为对角
阵的方法及实二次型的标准型
第十章 双线性函数
1、理解线性函数的概念及简单性质，对偶空间的定义，线性空间的基、维数与其对偶空间的基、维数
的关系，线性空间的两组基的对偶基之间的关系
2、掌握双线性函数的概念，双线性函数在某组基下的度量矩阵，同一双线性函数在不同基下的合同关
系，双线性函数的非退化
3、了解对称、反对称双线性函数的定义，对称、反对称双线性函数与对称、反对称矩阵的关系，对称、
反对称双线性函数在某组基下为对角形矩阵
第三部分 有关说明与实施要求
1、考试目标的能力层次的表述
本课程对各考核点的能力要求一般分为三个层次用相关词语描述：
较低要求——了解；一般要求——理解、熟悉、会；较高要求——掌握、熟练掌握。
一般来说，对概念、原理、理论知识等，可用“了解”、“理解”、“掌握”等词表述；对计算方法、应用
方面，可用“会”、“应用”、“掌握”“熟练掌握”等词。
2、命题考试的若干规定
(1)本课程的命题考试是根据本大纲规定的考试内容来确定的，根据本大纲规定的各种比例(每种比例规
定可有 5 分以内的浮动幅度，来组配试卷，适当掌握试题的内容、覆盖面、能力层次和难易度)。
(2)各章考题所占分数大致如下：
第一章 10％ 第二章 10％ 第三章 10％ 第四章 10％ 第五章 10％ 第六章 10％ 第七章
15％ 第八章 5 ％ 第九章 15％ 第十章 5％
(3)其难易度分为易、较易、较难、难四级，每份试卷中四种难易度，试题分数比例一般为 2：3：3：2。
(4)试卷中对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是：“了解(知识”占 15%，“理解(熟悉、能、会)”
占 40%，“掌握，熟练掌握”占 45%。
(5)试题主要题型有证明题、计算解答题等多种题型。
(6)考试方式为闭卷笔试。考试时间为 180 分钟，试题主要测验考生对本学科的基础理论、基本知识和
基本技能掌握的程度，以及运用所学理论分析、解决问题的能力。试题要有一定的区分度，难易程度要
适当。一般应使本学科、专业本科毕业的优秀考生能取得及格以上成绩。
(7)题型举例
●证明题（由 4－6 个题组成）：50％
1、设： 1
( ) ( ) ( )f x af x bg x  ， 1
( ) ( ) ( )g x cf x dg x  ，且 0ad bc  ，证明 1 1
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))f x g x f x g x   。
●计算解答题（由 4－6 个题组成）：50％
1、设 4321
,,,  是 4 维线性空间的一组基，并设线性变换 A 的矩阵如下














1000
0001
0000
0001
（1） 求 A 的特征值和特征向量。
（2） 求 A 的值域 AV 及核 KerA, 并分别求它们的一组基。