2018年河南工业大学837高等代数考研大纲及硕士研究生入学考试试题

河南工业大学
硕士研究生入学考试情况介绍
科目名称：高等代数
科目代码： 837
《高等代数》考试概要
一、要求和知识点
1. 一元多项式
（1）考试要求
○1 .理解数域的概念。
○2 .掌握一元多项式的运算规律，掌握整除的概念和性质，并会运用带余除法。
○3 .掌握辗转相除法，并会求最大公因式，掌握互素的概念和性质。
○4 .掌握不可约多项式的概念和性质，理解因式分解定理。
○5 .掌握重因式的概念和判别。
○6 .理解多项式函数概念，掌握余数定理。
○7 .掌握实系数、复系数和有理系数多项式的因式分解及判别法。
（2）知识点
一元多项式，因式分解，整除，有理系数多项式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩阵
（1）考试要求
○1 .理解行列式的概念和性质。
○2 .掌握常见行列式的计算方法。
○3 .理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。
○4 .掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式以及它们的运算规则，
并会进行计算。
○5 .掌握矩阵的初等变换，初等矩阵的概念，并会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。
○6 .掌握逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的条件，掌握利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
○7 .熟悉分块矩阵及其运算。
（2）知识点
行列式的概念和性质，行列式的计算，矩阵的概念、矩阵的加、减、乘等运算，数量矩阵，矩
阵的转置，矩阵乘积的行列式与秩，逆矩阵，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法
的初等变换。
3. 向量组的线性相关性
（1）考试要求
○1 .理解 n 维向量空间，向量的线性组合与线性表示的概念。
○2 .理解线性相关、线性无关的定义，并会应用向量组线性相关，无关的有关性质及判别法。
○3 .理解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩。
○4 .理解向量组等价的概念。
○5 .理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
（2）知识点
线性组合，线性相关，线性无关，向量组和矩阵的秩。
4. 线性方程组
（1）考试要求
○1 .了解消元法求解线性方程组。
○2 .理解齐次和非齐次线性方程组的解的特点。
○3 .掌握判定线性方程组解的情况的方法。
○4 .理解线性方程组解的结构。
（2）知识点
消元法,向量空间，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构，基础解系。
5. 二次型
（1）考试要求
○1 .掌握二次型及其矩阵表示，理解二次型秩的概念。
○2 .掌握合同变换和合同矩阵的概念，理解二次型的标准形，规范形的概念，了解惯性定性及规
范形的唯一性。
○3 .掌握配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。
○4 .掌握正定二次型和正定矩阵的概念及判别。
（2）知识点
线性替换，n 元二次型，标准形，二次型的矩阵，规范形，惯性定理，正定二次型。
6. 线性空间
（1）考试要求
○1 .掌握线性空间定义与性质。
○2 .掌握线性空间的维数，基与坐标的概念和求法。
○3 .理解基变换与坐标变换的概念，会求过渡矩阵。
○4 .理解子空间的概念，掌握子空间的性质及生成的条件。
○5 .掌握两个子空间的交与和的概念及性质。
○6 .了解线性空间的同构的概念。
（2）知识点
线性空间的定义与简单性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交
与和，线性空间的同构。
7. 线性变换
（1）考试要求
○1 .理解线性变换的定义和运算。
○2 .掌握线性变换的矩阵求法。
○3 .掌握线性变换或矩阵的特征值与特征向量。
○4 .掌握矩阵的相似对角化问题。
○5 .理解线性变换的值域与核。
○6 .掌握不变子空间的概念和证明方法。
（2）知识点
线性变换的定义，运算，矩阵，线性变换的值域，核，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对
角矩阵的条件，不变子空间。
8.  -矩阵
（1）考试要求
○1 .了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系， -矩阵等价与矩阵相似的关系。
○2 .掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算。
○3 .掌握行列式因子与标准型的对应，初等因子组与 Jordan 标准形的对应。
○4 .掌握  -矩阵可逆的定义与判别条件.会计算  -矩阵的标准形，复系数矩阵的 Jordan 标准
形。
（2）知识点
 -矩阵的相关概念、等价以及判定；行列式因子、不变因子、初等因子的相关概念与应用； -
矩阵的标准形与 Jordan 标准形。
9. 欧氏空间
（1）考试要求
○1 .理解欧氏空间的定义及性质。
○2 .理解标准正交基的定义及判别方法。
○3 .理解子空间的定义和正交补的求法。
○4 .掌握正交变换和对称变换的判别条件。
（2）知识点
欧氏空间的概念，标准正交基，子空间，正交变换，对称变换。
二、教材及其参考书
[1] 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳 石生明 修订，高
等教育出版社，出版年 2003.
[2]《高等代数》王萼芳 编．高等教育出版社，出版年 2009.
[3]《高等代数选讲》，张同斌，万建军主编，合肥工业大学出版社，2009