数学统计学考试大纲

数学与统计学院硕士研究生招生考试
考试大纲
科目代码：608 科目名称：数学分析
考试范围：
一、数列和（一元、多元）函数极限：极限的概念；极限存在的条件和存在的
各种判定方法；求极限的各种方法。
二、（一元、多元）函数连续：连续的概念，性质（局部性质和整体性质）及应
用。
三、一元函数微分学：求导的各种方法（包括高阶导数）；一元函数的微分中值
定理（Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理，Taytor 公式）及应用.
四、一元函数积分学：不定积分的各种计算方法；定积分的各种计算方法；函
数可积的条件；定积分的各种性质及应用；反常积分值的计算和反常积分收敛
性判别的各种方法。
五、多元函数微分学：函数可微的讨论；微分、偏导数和高阶偏导数的各种计
算方法；多元函数的微分中值公式和泰勒公式；隐函数的存在性和可微性的讨
论，隐函数导数或偏导数的计算；方向导数和梯度；几何应用和极值问题（包
括条件极值问题）。
六、多元函数积分学：重积分计算的各种方法和重积分的性质（包括二、三重
积分和简单的 n 重积分）；第一型曲线（曲面）积分的各种计算方法；第二型曲
线（曲面）积分的各种计算方法；第一型曲线（曲面）积分与第二型曲线（曲
面）积分的关系；Green 公式及应用；Gauss 定理和 Stokes 定理及应用。
七、数项级数的各种收敛的判别法；数项级数的求和方法。
八、函数列和函数项级数收敛和一致收敛的各种判别法；极限函数与和函数的
解析性（连续、可微和可积性）的讨论；含参量积分（包括含参量正常积分和
含参量反常积分）及其应用。
九、幂级数和傅立叶级数：求幂级数的和函数；将函数展成幂级数或傅立叶级
数；幂级数应用。
十、实数的完备性：区间套定理、数列的柯西（Cauchy）收敛准则、聚点原理，
有界数列存在收敛子列、有限覆盖定理。
科目代码：856 科目名称：高等代数
考试范围：
一、多项式
1 数域上一元多项式的定义、运算及运算规律.
2 带余除法, 整除的定义及性质.
3 多项式的最大公因式, 互素等概念及性质. 辗转相除法.
4 不可约多项式的定义及性质, 因式分解定理, 标准分解式.
5 k 重因式的定义. 判断一个多项式有无重因式.
6 多项式函数的概念, 余数定理, 多项式的根及性质.
7 复系数、实系数多项式的因式分解,
8. 有理系数多项式的可约性的判定. 多项式的有理根.
二、行列式
1 n 级行列式的定义及其基本性质.
2 余子式、代数余子式, 行列式按一行(列)展开及 Laplace 定理.
3 低阶行列式, 有规律的高阶行列式的计算.
4 克莱姆(Cramer)法则.
三、线性方程组
1 线性组合、线性相关、线性无关的定义、性质及其判断.
2 向量组的极大无关组、秩的定义及其求法.
3 矩阵的行秩、列秩、秩的定义. 矩阵的秩与其子式的关系.
4 线性方程组的有解判别定理. 含参数线性方程组解的讨论.
5 齐次线性方程组基础解系; 非齐次线性方程组有解的情况下, 其解的表示.
四、矩阵
1 矩阵的基本运算及其规律. 有关矩阵秩的常见等式与不等式.
2 可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念. 矩阵可逆的充要条件
3 初等矩阵、初等变换. 矩阵的等价标准形. 求一个方阵的逆矩阵.
4 分块矩阵的意义及其运算.分块矩阵的初等变换和广义初等矩阵的关系, 求分
块矩阵的逆.
五、二次型
1 二次型, 二次型的 (相伴) )矩阵和非退化线性替换的概念
2 二次型的标准形, 化二次型为标准形的方法: 配方法、合同变换法
3 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性, 惯性定理.
4 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念.
正定二次型及半正定二次型的等价条件.
六线性空间
1 线性空间的定义及性质, 判断一个代数系统是否是线性空间.
2 线性空间的基, 维数, 向量坐标的概念及性质. 基变换与坐标变换.
3 子空间的定义及判别定理, 向量组生成子空间的定义及等价条件.
4 子空间的交与和的定义、性质及其求法,维数公式.
5 子空间直和的概念, 和为直和的充要条件.
七线性变换
1 线性变换的定义及性质, 运算及运算规律
2 有限维线性空间中, 线性变换与矩阵的关系,
3 特征值、特征向量、特征多项式的概念、性质和计算. 哈密尔顿-凯莱定理.
4 n 维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件.
5 线性变换的值域、核、秩、零度等概念及其计算
6 不变子空间的定义, 判定一个子空间是否是 A-子空间, 不变子空间与线性变
换矩阵化简之间的关系, 空间 V 按特征值分解成不变子空间的直和表达式.
八、   矩阵
若当标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系
九欧几里得空间
1 欧氏空间的定义及性质, 度量矩阵等概念和基本性质
2 正交向量组、标准正交基的概念, 施密特正交化过程,
3 两个子空间正交的概念, 欧氏空间中子空间都有唯一的正交补及其性质.
4 正交变换的概念及几个等价条件.
5 对称变换的定义及性质, 实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵, 正交替换
法化实二次型为标准形.