2019年宁波大学3813抽象代数博士研究生考试大纲考博大纲

2019 年宁波大学博士研究生招生考试初试科目
考 试 大 纲
科目代码、名称: 3813抽象代数
一、考试形式与试卷结构
（一）试卷满分值及考试时间
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应
的位置上。
（三）试卷题型结构
证明题。
二、考试科目简介
代数学是现代数学的三大基本理论之一，抽象代数是代数学方向最重要的基础课。代数学建立
的四个基本代数结构：群、环、模和域，已经成为现代数学工作者常用的基本概念。代数学的新方
法，新理论要回答最前沿的数学问题，同时又为最前沿的数学研究提供强有力的研究工具. 考试的
基本要求：（1）考生比较系统地掌握基本代数结构如群、环、模和域的基本概念、基本理论；（2）
掌握研究代数结构的一些基本思想和方法；（3）要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、综合
运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试内容及具体要求
1．群 论
(1) 子群与 Lagrange 定理：子群的定义、性质、判定、例子、构造，集合上的二元关系、等价关系
与划分，利用等价关系导出陪集分解和 Lagrange 定理；Lagrange 定理的应用：元素的阶及计算；
两子群积集的计数公式；共轭关系、中心、中心化子、共轭元的个数；类方程及其应用：p-群有非
平凡的中心；
(2) 循环群：群同态和同构及其意义；固定阶循环群在同构意义下的唯一性；有限循环群的固定阶
子群在通常意义下的唯一性；循环群的生成元和自同构群；
(3) 正规子群、商群、群同态基本定理：正规子群的定义与例子；商群的构造（为什么要商群？）
同态基本定理：表述、意义、证明和应用（子群对应定理和两个同构定理）；应用举例：内自同构群
同构于 G/Z(G)；
(4) 置换群：变换群的重要性；Cayley 定理；Sn 中元素的表达、奇偶性、阶；对称群与交错群的生
成系；置换的型；共轭类的划分；有限单群；An (n>4)的单性；Sn 的正规子群；
(5) 群在集合上的作用及其应用：群作用的思想；两种定义的等价性；作用的核; 轨道公式；Burnside
引理在不同领域计数中的应用；
(6) Sylow 定理：有限群 Sylow I, II, III 的表述与证明；
(7) 有限生成 Abel 群：归结为有限生成自由 Abel 群（秩）与有限 Abel 群；有限 Abel 群是其 Sylow
子群的直和；素数幂 p^n 阶 Abel 群的同构类与数 n 的划分之间的一一对应；会用初等因子和不变因
子对有限 Abel 群分类；
(8) 可解群与 Jordan-Holder 定理；
(9) 有限生成 Abel 群的结构。
2. 环 论
(1) 环的基本概念：定义；名词与简单性质（交换环，无零因子环，整环，除环，域）；
(2) 环同态基本定理：理想的构造；主理想整环（PID）；除环上的全矩阵环是单环；商环的构造；
环同态基本定理的意义；
(3) 极大理想与素理想：定义及关系；意义：构造域及整环; PID 中的极大理想和素理想；Zorn 引
理；极大理想和素理想的存在性；
(4) 唯一因子分解整环（UFD）：不可约元与素元；UFD 的定义；非 UFD 的例子；
(5) UFD 的等价刻画：PID 是 UFD；
(6) Euclid 整环（ED）：定义与例子；环，整环，UFD, PID, ED，域之间的关系；
(7) 多项式环：Gauss 定理：UFD 上的多项式环仍是 UFD；域上多元多项式环不是主理想整环；
(8) 交换环的大根与小根；
(9) 有关交换环的局部化理论；
(10) 链条件。
3. 模 论
(1) 模的定义：子模、子模的交与和；内直和；商模；同态；同态的分解；模的同态环；正合列；
(2) 直积、直和与自由模：直积与直和；内部直和与外部直和之间的关系；直积与直和的同态；自
由模；自由群和可除阿贝尔群；主理想整环上的有限生成模；
(3) 内射模与投射模：大子模和小子模；内射模与投射模的定义及其简单性质；内射包与投射盖；
贝尔判别准则；
(4) 阿廷模与诺特模：定义和特征；希尔伯特基定理；阿廷模和诺特模的同态；诺特环的特征；诺
特环与阿廷环上内射模的分解；
(5) 局部环与模的直和分解：局部环；局部自同态环；单模与半单模；半单环；
(6) 根基与基座：根基与基座；环的根基；有限生成模和有限余生成模的特征；阿廷环和诺特环的
特征；内射模和投射模的自同态环的根基；
(7) 张量积与平坦模：张量积；平坦模。
4. 域 论
(1) 域的扩张：素域；有限扩域的维数；域扩张的方法；单扩域的结构；有限扩域与代数扩域及其
关系；
(2) 分裂域：定义与意义；存在性；同构延拓定理及其证明；利用同构延拓定理证明分裂域的唯一
性；分裂域的 Galois 群的阶；
(3) 有限域：结构定理;有限域上的不可约多项式；Wedderburn 定理；有限域上的一般线性群和特
殊线性群；
(4) 可分扩域：定义；完全域；不可分扩域的存在性；“大部分代数扩域”是可分的 Artin 本原性定
理：有限可分扩域是单扩域；
(5) 正规扩域：定义；有限正规扩域= 多项式的分裂域; 有限 Galois 扩域的定义；有限 Galois 扩
域=可分多项式的分裂域；有限 Galois 扩域：|Gal（E/F）| = [E:F].
5. Galois 理论
(1) Galois 理论的基本定理：群和域的反序对应关系；Artin 引理；正规性引理；Galois 理论的
基本定理及其证明；
(2) 方程的 Galois 群：方程的 Galois 群作为根集上的(可迁)置换群；有理数域上只有两个非实的
复根的素数次不可约多项式的 Galois 群；纯粹方程的 Galois 群；Galois 反问题；
(3) 代数方程的根式可解性：根式可解的含义；Lagrange 预解式；Galois Theorem (利用 Galois
理论的基本定理怎样将代数方程的根式可解性归结为其 Galois 群的可解性）。
四、参考教材或主要参考书
1.聂灵沼，丁石孙,代数学引论（第二版），高等教育出版社，2000
2.T.W. Hungebford, Algebra(有中译本,书名《代数学》)，GTM 73, Springer-Verlag.