891数学专业综合课考试大纲

请考生注意：

1、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代数、概率论与数理统计三门课程的内容，

考生可任选其中二门课程的试题解答，多选无效。

2、每门课试题满分 75分。

常微分方程考试大纲

一、基本内容与要求

(一) 初等积分法

1、 熟练掌握变量可分离方程、可化为变量分离方程的类型、一阶线性方程与常数变易法、

全微分方程与积分因子等的解法。掌握一阶隐方程与参数表示。

2、 会应用降阶法解某些高阶方程。

3、 会建立简单的微分方程模型。

(二) 线性方程和线性方程组

1、 掌握线性微分方程(组)的一般理论.

2、 掌握常系数线性微分方程(组)的解法.

3、 能应用线性方程(组)解的结构对方程的解做简单定性分析.

4、 了解二阶线性方程的幂级数解法和 Laplace 方法。

5、 会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

6、会求二阶微分方程组的奇点及其类型

(三) 基本定理

1、掌握初值问题的存在、唯一性定理和解的延拓及解关于初值的连续、可微性定理

2、掌握解的存在、唯一性定理及证明。

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近世代数考试大纲

一、基本内容与要求

(一)基本概念

1、理解集合与映射的概念，掌握集合之间的运算，能够在集合之间建立映射关系，并判

断两个映射是否相同。

2、掌握代数运算与映射的关系，能够建立有限集合之间的运算表，并判断给定的运算是

否满足结合律、交换律以及两种分配律。

3、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念，理解同态与同态满射（满同态）的关系，

并能判定映射是否是同态满射（满同态），掌握具有同态满射（满同态）的集合之间的联系。能

够判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

4、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，熟练判定给定的

关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，能够建立整数间给定模的剩余类。

(二) 群论

1、掌握群的等价定义和例子，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无

限群、群的阶和交换群的概念。充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，

能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的阶。

2、理解群同构、同态的定义，掌握一个群的自同构的集合也成群的证明，掌握群同态的

有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的像也是单位元，元 a的逆元的像是 a的像的逆元。

3、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能

证明任一循环群可以与整数加群或模为 n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

4、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，

且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的

定理的证明。掌握元素求逆等运算。

5、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个 n 元置换都可以写成若干个互相没有共

同数字（不相连）的循环置换（轮换）的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

6、掌握子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找

出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的

关系。

7、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的关系，

并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

8、 掌握不变子群（正规子群）的定义，能掌握一个群的子群是不变子群（正规子群）的

充分必要条件的定理，理解商群的定义，能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核

的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群（正规子群）的象的性质。并能将子

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群或不变子群（正规子群）的性质运用到循环群、变换群等群之中。

9、掌握 sylow定理的应用。

(三) 环与域

1、理解交换环的定义和例子，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消

去律与零因子的关系。

2、了解除环的定义，能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系。熟悉无零因子环中的

计算规则，掌握无零因子环中特征的性质

3、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，了解同态、同构环之间的

性质，了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

4、掌握理想的定义，理解理想的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断

一个子环是否为理想，和理想是否为主理想。了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。

5、 掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的

商域也同构的定理。理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

6、理解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明

域一定是一个欧氏环。

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概率论与数理统计考试大纲

一、基本内容与要求

(一) 概率论

1、理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；理解并熟练掌握概率的

古典定义；理解几何概率，概率的统计定义及公理化定义；熟练掌握概率的基本性质，会用于

计算；理解并掌握条件概率的定义，事件独立性。熟练掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公

式及其应用；熟练掌握 Bernoulli概型。

2、理解随机变量的概念；理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质，

掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度之间的关系；掌握二项分布、Poisson 分布、均

匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表；熟练掌握随机变量函数分布的

求法。

3、熟练掌握随机变量的数学期望、方差及其求法。掌握特征函数的定义及性质，特征函数

与期望和方差之间的关系，理解反演公式和唯一性定理。

4、理解二维随机变量及其分布的定义，会求边缘分布，掌握随机变量的独立性；掌握二维

随机变量期望、方差、协方差、相关系数及其性质；理解条件分布和条件数学期望；会求二维

随机变量函数的分布；理解二维随机变量特征函数及其性质；了解三维及三维以上随机变量的

定义和分布； 掌握 n维正态分布定义及性质，χ²-分布、t-分布和 F-分布。

5、理解大数定律和中心极限定理的统计背景，意义及其应用，了解依概率 1收敛，依概率

收敛及依分布收敛的意义和相互关系。

(二) 数理统计

1、掌握数理统计的基本概念；熟练掌握矩估计法和极大似然估计法；熟练掌握无偏估计、

有效估计和相合估计；熟练掌握区间估计定义及其意义。

2、充分理解和掌握 Neyman-Pearson假设检验的基本思想和方法；熟练掌握正态总体参数假

设检验方法。