昆明理工大学博士研究生入学考试
《数值分析（机电院）》考试大纲
第一部分 考试形式和试卷结构
一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。
二、考试时间：180分钟。
三、试卷内容结构：客观题约占 60%，主观题约占 40%。
四、试卷题型结构：
试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。其中：
1、选择/判断题，约占20%。测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。
2、填空题，约占40%。测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。
3、分析、计算题，约占40%。测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。
第二部分 考察的知识及范围
1. 误差度量与数值算法设计
误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。
函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。
数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。
2. 函数的插值方法以及误差估计
插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。
拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。
牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。
埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。
三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。
3. 函数逼近与曲线拟合
正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。
最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。
最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。
4. 数值积分与数值微分
数值求积基本概念：数值求积思想、基本公式，插值型求积计算，代数精度及误差估计，求积公式收敛性及稳定性。
牛顿-科特斯求积公式：牛顿-科特斯公式一般形式，梯形公式和辛普森公式及其余项，数值稳定性分析。
复化求积公式：复化梯形公式，复化辛普森公式，复化公式的余项及收敛性。
高斯求积公式：高斯求积公式的概念（最高代数精度、插值型），高斯点的特性，高斯-勒德让求积公式，高斯公式的余项、稳定性。
龙贝格求积公式：二等分过程梯形公式的递推关系，外推加速法，龙贝格算法。
数值微分公式：基于泰勒展开的数值微分公式，插值型数值微分公式。
5. 线性代数方程组的直接解法
向量和矩阵的范数等基本概念：向量范数，矩阵范数，矩阵谱半径，矩阵的条件数，病态方程组。
高斯消去法：顺序高斯消去法，列主元高斯消去法。
三角分解法：矩阵三角分解，直接三角分解法，解三对角方程组的追赶法，解对称正定方程组的平方根法。
扰动方程组的误差界估计。
6. 线性代数方程组的迭代解法
迭代法的基本思想：迭代法的基本概念，基本型迭代公式。
雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代：雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代的构造。
收敛性分析：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代法收敛性分析。
逐次超松弛迭代法：逐次超松弛迭代法的构造和收敛性条件。
7. 非线性方程数值求解
方程求根基本概念：方程求根的主要思想，二分法。
不动点迭代法：不动点迭代法，收敛性定理（局部收敛性，收敛速度与收敛阶）。
牛顿迭代法：牛顿迭代法、收敛性、重根的处理，应用举例（如求方根、应用于代数方程等特殊方程）。
迭代过程的加速方法：埃特金加速方案，斯特芬森迭代法。
8. 矩阵特征值与特征向量计算
矩阵特征值：矩阵特征值及性质、矩阵正交变换及分解。
矩阵特征值计算方法：乘幂法、反幂法、雅可比方法、QR方法。
9. 常微分方程初值问题数值求解
数值解的概念：数值解的概念，数值解法的特点。
欧拉方法与局部截断误差：欧拉公式、隐式欧拉公式、梯形公式、改进的欧拉公式，局部截断误差。
龙格-库塔方法：2阶龙格-库塔公式，经典3阶、4阶龙格-库塔公式。
单步法的收敛性与稳定性：局部截断误差的概念、推导，收敛阶的概念，单步法的收敛性，单步法的绝对稳定性。
线性多步法：线性多步法的构造，预测-校正、辛普森、阿当姆斯等线性多步法。
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