2021年暨南大学招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：网络空间安全（0839）

考试科目名称及代码：抽象代数 845 （A 卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）。
1. 设 是两个有限集合，则 到 的映射有______个。
2.  在5次对称群 中, (134)(135) =           。
3.  8阶循环群的生成元有       个。
4.  设 是35阶循环群，写出 的非平凡子群_______________________。
5.  在多项式环 中， __________¬¬¬¬¬。
二、判断题（在题后的括号内正确的画“√”，错误的画“×”，填错或未填者，该小题无分。共5小题，每小题4分，共20分）。
1. 非交换群的阶至少为6。                                                     (    )
2. 每个群必存在非平凡的子群。                                                 (    )                                           
3. 整数环的自同构只有恒等自同构。                                             (    )                                       
4. 域的有限可分扩张必为单扩张。                                               (    )                                                                  
5. 对于任何正整数 ，含有 个元素的有限域都存在。                              (    )                 
三、问答题（共2小题，每小题15分，共30分）。
1．(15分) 分别写出群、环和域的定义，并各举一个例子。
2．(15分) 构造一个4元域，并指出它的加法和乘法运算规则。

四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。
1. (15分) 设 是正整数，证明：满足方程 的复数的集合 在通常乘法下是一个 阶循环群。
2. (15分) 决定环 的单位群，并证明此环为整环但不是域。

五、计算题（共3小题，第1、2小题15分，第3小题20分，共50分）。
1．(15分) 设 ，运用广义欧几里德除法求整数 使得 。
2.  (15分) 设 是有理数域 上多项式 的一个实根。
   (1)  证明 是 在 上的一组基；(10分)
 (2)  将 表示成 的 -线性组合。(5分)
3． (20分，每小题10分)
 (1) 解如下含参数 的同余方程组:
 
(2) 当 时，求出上述同余方程组的最小正整数解。

考试科目： 抽象代数                                                       共 2 页，第 2 页