考试科目代码：609

考试形式：笔试

考试时间：180分钟

满分： 150分

参考书目：《数学分析》上下册（第四版），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2010。

一、试卷结构：

1、计算题，共6--7小题，共70分；2、证明题、论述题，共5—6题，共80分。

二、考试范围：

（1）考查知识点

(一) 实数集与函数

1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;

2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上、下确界，确界原理;

3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；

4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

(二) 数列极限

1、极限概念；

2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；

3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。

(三) 函数极限

1、函数极限的概念，单侧极限的概念；

2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；

3、函数极限存在的条件：归结原则，柯西准则；

4、两个重要极限；

5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。

(四) 函数连续

1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；

2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性*；

3、初等函数的连续性。

（五）导数与微分

1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；

2、求导法则：导数的四则运算、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本求导法则与公式；

3、参变量函数的导数；

4、高阶导数；

5、微分：微分的定义、微分的运算法则、高阶微分、微分的应用。

（六）微分中值定理及其应用

1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

2、几种特殊类型的不定式极限与洛必达法则；

3、泰勒公式；

4、函数的极值、最值；

5、函数凹凸性与拐点。

（七）实数完备性定理

1、实数完备性的基本定理：闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理；

2、闭区间上连续函数的整体性质：有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致连续性定理。

（八）不定积分

1、不定积分概念与基本积分公式；

2、换元积分法与分部积分法；

3、有理函数和可化为有理函数的不定积分。

（九）定积分

1、定积分的概念：概念的引入、函数可积的必要条件；

2、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

3、可积性条件：可积的必要条件和充要条件、可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；

4、定积分的性质：定积分的基本性质、积分中值定理；

5、微积分基本定理—定积分计算：变限积分与原函数的存在性、换元积分与分部积分、泰勒公式的积分型余项。

（十）定积分的应用

1、定积分的几何应用：平面图形的面积、微元法、已知截面面积函数的立体体积、平面曲线的弧长与曲率、旋转曲面的面积。

（十一）反常积分

1、反常积分的概念；

2、无穷积分的性质与收敛准则；

3、瑕积分的性质与收敛准则。

（十二）数项级数

1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；

3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

（十三）函数列与函数项级数

1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；

2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性、可积性、可微性）。

（十四） 幂级数

1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；

2、函数的幂级数展开与泰勒定理。

（十五）傅里叶级数

1、傅里叶级数：三角级数与正交函数系、傅里叶级数、收敛定理；

2、以2L为周期的函数的展开式；

3、收敛定理的证明。

（十六）多元函数的极限与连续

1、平面点集与多元函数的概念；

2、二元函数的极限、累次极限；

3、二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。

（十七）多元函数微分学

1、可微性：偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；

2、多元复合函数微分法及求导公式；

3、方向导数与梯度；

4、泰勒定理与极值。

（十八）隐函数定理及其应用

1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；

2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；

3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；

4、条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。

（十九）含参量积分

1、含参量正常积分；

2、含参量反常积分：含参变量反常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量反常积分的性质。

（二十）曲线积分

1、第一型曲线积分的定义和计算；

2、第二型曲线积分的定义和计算、两类曲线积分的联系。

（二十一） 重积分

1、二重积分的概念：平面图形的面积、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质；

2、直角坐标系下二重积分的计算；

3、格林公式，曲线积分与路线的无关性；

4、二重积分的变量变换，极坐标计算二重积分；

5、三重积分：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换）；

6、重积分的应用。

（二十二）曲面积分

1、第一型曲面积分的概念和计算；

2、第二型曲面积分，两类曲面积分的联系；

3、高斯公式与斯托克斯公式。

（二十三）向量函数微分学

1、n维欧氏空间与向量函数；

2、向量函数的微分;

3、反函数定理和隐函数定理。

（2）考查重点

(一) 实数集与函数

实数的性质，上、下确界，确界原理。

(二) 数列极限

极限概念，收敛数列的性质，数列极限存在的条件。

(三) 函数极限

函数极限的概念，函数极限的性质，函数极限存在的条件，两个重要极限。

(四) 函数连续

函数连续的概念，连续函数的性质。

（五）导数与微分

导数概念，求导法则，微分的定义，微分的运算法则。

（六）微分中值定理及其应用

中值定理，不定式极限与洛必达法则，函数的极值、最值，函数凹凸性与拐点。

（七）实数完备性定理

有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致连续性定理。

（八）不定积分

不定积分概念与基本积分公式，换元积分法与分部积分法。

（九）定积分

定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的性质。

（十）定积分的应用

平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面的面积。

（十一）反常积分

反常积分的概念，无穷积分的性质与收敛准则，瑕积分的性质与收敛准则。

（十二）数项级数

级数的敛散性，正项级数判别法，交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质。

（十三）函数列与函数项级数

一致收敛性及一致收敛判别法，一致收敛的函数列与函数项级数的性质。

（十四） 幂级数

收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质，函数的幂级数展开与泰勒定理。

（十五）傅里叶级数

三角级数与正交函数系，傅里叶级数。

（十六）多元函数的极限与连续

二元函数的极限，二元函数的连续性概念。

（十七）多元函数微分学

偏导数的概念，偏导数与连续性，全微分概念，连续性与可微性，偏导数与可微性，多元复合函数微分法及求导公式。

（十八）隐函数定理及其应用

隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导，条件极值。

（十九）含参量积分

含参量正常积分，含参量反常积分敛散性及其性质。

（二十）曲线积分

第一型曲线积分的定义和计算，第二型曲线积分的定义和计算，两类曲线积分的联系。

（二十一） 重积分

二重积分的定义及其存在性，二重积分的性质，直角坐标系下二重积分的计算，格林公式，极坐标计算二重积分，化三重积分为累次积分。

（二十二）曲面积分

第一型曲面积分的概念和计算，第二型曲面积分，两类曲面积分的联系，高斯公式与斯托克斯公式。

（二十三）向量函数微分学

n维欧氏空间与向量函数。