2021年宁波大学博士研究生招生考试初试科目
考　试　大　纲

科目代码、名称: 2610泛函分析
 

一、考试形式与试卷结构   

（一）试卷满分值及考试时间

本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

（二）答题方式

答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。

（三）试卷题型结构

证明题、计算题

二、考试科目简介

泛函分析是现代数学分析学的重要分支，其广博深厚的理论体系、高度概括的理论方法以及广泛的应用价值对现代科学技术的各个领域都产生重大影响。泛函分析综合了函数论、几何和代数的观点与方法，研究无穷维空间上的函数、算子理论，以更加抽象的纯形式的方法解决了分析学中的诸多问题。本课程是数学系研究生进入现代数学学习和研究很重要的专业基础课。本课程主要以线性泛函分析中的空间论、算子和泛函论和谱论为主要内容。

三、考试内容及具体要求

1．距离空间

(1) 距离空间的概念，内容包括定义，例子（函数空间和序列空间），点列的收敛性，映射的连续性，内容包括开（闭）球，内点、开集、领域等概念，距离的等价性，映射的连续性等；

(2) 距离空间的闭集，内容包括距离空间的闭集，集合的闭包，集合的稠密性和距离空间的可分性，列紧集和距离空间的列紧性；

(3) 距离空间的完备性，内容包括Cauchy列，完备距离空间的定义，完备空间与不完备空间举例，距离空间的完备化；

(4) 完备距离空间的性质，内容包括闭集套定理，Banach压缩映照原理及其应用。

2．赋范空间

(1) 赋范空间的概念，内容包括赋范空间和Banach空间定义，例子（函数空间和序列空间），范数连续性，范数与距离的关系，点列的收敛性；

(2) 完备赋范空间，内容包括赋予不同范数的连续函数空间，赋范空间的完备化，重要的完备空间 空间和 空间；

(3) 赋范空间的的几何结构，内容包括凸集，子空间和Riesz引理；

(4) 有限维赋范空间，内容包括范数等价性，有限维赋范空间的几何特征。

3．内积空间和Hilbert空间

(1) 内积空间的基本性质，包括内积、内积空间，内积和范数的关系、内积空间特征、Hilbert空间的定义，一些典型的内积空间、Hilbert空间例子；

(2) 正交和正交分解，包括正交和正交补的定义，凸集的最佳逼近，Hilbert空间正交分解定理；

(3) 正交系和正交投影，包括内积空间正交系和正交投影定义，Fourier级数，Bessel不等式与Fourier级数的收敛性；

(4) 正交基和正交列的完备性，包括正交基和正交列的完备性定义，正交列的完备性的四个价性描述；

(5) 可分Hilbert空间的等距同构，包括线性无关组正交化算法，可分Hilbert空间与 等距同构。

4．有界线性算子和线性泛函

(1) 有界线性算子和有界线性泛函，包括它们的定义，一些有界线性算子和有界线性泛函的例子，线性算子有界性和连续性的关系，线性算子赋范空间定义（过程），一些具体有界线性算子或泛函范数的计算。

(2) 有界线性算子空间的收敛和完备性，内容包括有界线性算子列的范数收敛定义及其等价性，有界线性算子列的强收敛的定义以及与范数收敛的关系，算子空间（泛函空间）的完备性。

(3) 一致有界原理，包括Baire纲定理，及其各种表现形式，Banach-Steinhaus一致有界原理及其逆否命题，有界线性算子空间强收敛意义下的完备性。

(4) 开映射定理与逆算子定理，包括逆算子定义，有界逆算子存在的充分条件，开映射定理及其证明，逆算子定理，Banach空间的范数等价定理。

(5) 闭算子和闭图像定理，包括闭算子的定义，与闭图像的等价性，线性算子的闭性，与有界性和闭定义域的关系，一些重要闭算子的例子，闭图像定理。

5．共轭空间和共轭算子

(1) Hahn-Banach延拓定理（复形式和实形式）及其几个重要推论，它们在凸集分离中的应用；

(2) 共轭空间，包括共轭空间的定义，几个重要空间的共轭空间；

(3) Hilbert空间的共轭空间，包括Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭空间在共轭同构意义下和自身等同，Hilbert空间的共轭算子，包括它的定义和性质，有界线性算子的值域与它的共轭算子零空间的关系；

(4) Hilbert空间中的自共轭的有界线性算子，包括它的定义和性质，几个重要的自共轭的有界线性算子，有界线性算子的Cartesian分解； 

(5) Banach空间的共轭算子，包括它的定义和性质，Hilbert空间与Banach空间的定义轭算子的关系，空间自反性的定义，几类重要的自反空间，弱收敛及其相关性质，强收敛与弱收敛的关系；

(6) 线性算子的谱理论，包括定义与例子，预解式、谱半径及计算定理。

四、参考教材或主要参考书

1. 教材

[1] 泛函分析讲义（上册），张恭庆，林源渠著，北京大学出版社，北京，2015.

2. 参考书目

[1] 实变函数与泛函分析概要（第二册），郑维行、王声望编著，高等教育出版社，2010.

[2] 实变函数与泛函分析（下册），夏道行编著，高等教育出版社，2010.

[3] 实变函数与泛函分析基础，程其襄，张奠宙编著，高等教育出版社，2004.

[4] Functional Analysis，Walter Rudin，Mc Graw Hill Education，1999.