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一 、1 、判断
1
(1 2 )
3 2
n
n n
n
i∞
=
+
−
∑ 是否绝对收敛。
2 、设 I 为有限区间， ( )f x 在 I 上有定义，试证： ( )f x 在 I 上一致收敛充要条件是 f
把 Cauchy 序列映射为 Cauchy 序列，（即当{ }nx I⊂ 为 Cauchy 序列时，{ ( )}nf x 亦为 Cauchy
序列）。
二、 .1、 ( ) 1f x x= − 在 1x = − 展开的幂级数，问其收敛集是什么？
2、求
2
sin x x= 的根的个数。
3 、求
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 4 3 6 8 2 1 4 2 4n n n
− − + − − + + − − +
− −
的和。
三 设 :[0,1]f R→ ，单调递增，且 {[0,1]}f 是闭集，证明 f 在[0,1]上连续。
四 、设 ( )f x 在[0,1]上连续，且
1
0
( ) 0n
f x x dx =∫ ， 0,1,2,...n = ，证明 ( ) 0f x ≡ 。
五 是否存在原函数 ( , )f x y ，使得 df 满足如下等式：
2 2
xdy ydx
df
x y
−
=
+
。
六 设 :f N N→ ，且对每一
*
n N∈ ，
1
( )f n−
是有限集， lim n
n
a
→∞
存在，
证明： ( )lim f n
n
a
→∞
存在。
七 设
3 2 3
{( , , ) : 1}S x y z R xy z= ∈ = ，
1 证明 S 在
3
R 中确定一张隐式的曲面，并求出一个在点 (1,1,1) 附近的参数方程；
2 S 是否连通，是否紧致？
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