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2009 年中国科大数学分析考研试题的解答
一 、1 解 因为
(1 2 ) 1 5 5
( ) 3 ( )
23 2 3 3
1 ( )
3
n
n n
n n
n
i
，
1
5
3 ( )
3
n
n
收敛，
所以
1
(1 2 )
3 2
n
n n
n
i
绝对收敛。
2 证明 必要性 设 ( )f x 在 I 上一致连续，
对 0, 0 ，当 , ,x x I x x 时，有 ( ) ( )f x f x ，
设{ }n
x I 是 Cauchy 序列，则对此 0 ，
*
N N ，当 ,n m N 时，有 n m
x x ，
从而有 ( ) ( )n m
f x f x ，所以有{ ( )}n
f x 是 Cauchy 序列；
充分性 用反证法，假若 ( )f x 在 I 上非一致连续，则 0
0 ，
1
0n
n
， ,n n
x y I ，
虽然
1
n n
x y
n
，但 0
( ) ( )n n
f x f y ， ( 1, 2,...)n
注意到 I 为有限区间， n
x I ( 1, 2,...)n ，因此{ }n
x 中存在收敛的子列{ }kn
x ，
因 0k kn n
x y ，故{ }kn
y 亦收敛，且 lim limk kn n
k k
x y
，
从而穿插之后，序列
1 1 2 2
, , , ,..., , ,...k kn n n n n n
x y x y x y 亦收敛，为 Cauchy 序列，但其像序列
1 1 2 2
( ) , ( ) , ( ) , ( ) , . . . , ( ) , ( ) , . . .k kn n n n n n
f x f y f x f y f x f y
恒有 0
( ) ( )k kn n
f x f y ，不是 Cauchy 序列，与一致条件矛盾，所以假设不成立，故有
( )f x 在 I 上一致连续，命题得证。
注：当 I 为无限区间时，充分性不再成立，例如
2
( )f x x 把 ( , )I 上的任一
Cauchy 序列{ }n
x ，映成 Cauchy 序{ ( )}n
f x ，但
2
( )f x x 在( , ) 上不一致连续。
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