浙江理工大学912高等代数2014年考研真题考研试题

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浙 江 理 工 大 学
2014 年硕士学位研究生招生入学考试试题
考试科目：高等代数 代码：912
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一. （15 分）证明：在复数域上： 2 3 3 1 3 2
( 1) | ( )
m n p
x x x x x
 
    其中 , ,m n p 为任意正整数。
二. （15 分）叙述代数学基本定理并利用它证明实系数不可约多项式至多是二次多项式。
三. （15 分）计算 n 级行列式：
2
2
2 0 0 0
1 2 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 1 2
 
 





    

四. （18 分）设方程组
1 2 3 4
1 3 4
2 3 2 0
( ) :
0
x x x x
I
x x ax
   

  
和
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 0
( ) :
2 0
x x x x
II
x bx x x
   

   
同解，求 , ;a b 并求它们的通解。
五. （15 分）(i)设 ,
n n
A P

 证明与 A 可交换的矩阵构成 n n
P

的一个子空间记为 ( ).C A
(ii) 当
1 0 0
0 2 0
0 0
A
n
 
 
 
 
 
 


  

时，求 ( )C A 的维数和一组基。
六.（18 分)设 1 2
, , , s
A A A 为线性空间V 中两两不同的线性变换，证明：有 V  使得
1 2
, , , s
A A A   两两不同。
七. （18 分）证明复数域上一个矩阵的线性无关的特征向量个数为它的若尔当标准型中含有的若
尔当块的个数。
八. （18 分）已知二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2x x x ax x x x bx x     可以用正交变换化为
2 2
2 3
2 .y y
求 , .a b
九. （18 分）证明实对称矩阵的特征值全部为实数。