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2005 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《高等代数 A 卷》
一． 判断： 2x = 为多项式 ( ) 5 4 3 2
6 11 2 12 8f x x x x x x= − + − − + 的几重根，为什么？（15
分）
二． 设ε 是不为 1 的 5 次单位根，证明：行列式
4 4 4 4
3 3 3 3
2 2 2 2
4
4
4
D
ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
− − − −
− − −
=
− − −
− − −
。（15 分）
三． 设 ( )1, , nf x x X AX′=L 是一实二次型，若有实 n 维向量 1 2,X X 使
1 1 2 20, 0,X AX X AX′ ′> <
证明：必存在实 n 维向量 0 0X ≠ 使 0 0 0X AX′ =
四． 设 1 2 3 4, , ,ε ε ε ε 是 4 维线性空间 V 的一组基，已知线性变换 T 在这组基下的矩阵为
1 0 2 1
1 2 1 3
1 2 5 5
2 2 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
（1）求 T 在 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4, , ,η ε ε η ε η ε ε η ε= + = = + = 下的矩阵 B
（2）求 T 的核和值域；
（3）若线性变换T ，有 ( )
1
0 0T
−
= ，问T 是否为可逆变换？为什么？
五． 已知 0a ≠ ，用非退化的线性变换化二次型
( )1 2 3 1 2 1 3 2 3, ,f x x x ax x bx x cx x= + + 为标准型
六． 已知向量组( ) 1 2 31 : , , ;α α α
( ) 1 2 3 42 : , , , ;α α α α
( ) 1 2 3 53 : , , , ;α α α α
假设秩( )1 = 秩( )2 3= ，秩( )3 4= 。证明：向量组( ) 1 2 3 5 44 : , , , ;α α α α α− 的秩为 4。
七． 设 ( )1, , nf x xL 和 ( )1, , ng x xL 为两个实二次型， ( )1, , nf x xL 正定。证明：在
n
R 中
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