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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《高等代数 A 卷》
一 、（ 20 分 ） 令 S 是 一 些 n 阶 方 阵 组 成 的 集 合 ， 关 于 任 意
.BAABSBA.BAABS,ABS,B,A 3
=∈∀=∈∈ ），证明（）且（
二、（20 分）设 )x(k),x(h),x(g),x(f 为实序数 多项式，它们适合下列关系：
0)x(g)2x()x(f)1x()x(k)1x
0)x(g)2x()x(f)1x()x(h)1x
2
2
=++−++
=−++++
（
（
.证明：f(x),g(x)都能被 整除1x2
+ .
三、（20 分）计算行列式
=Δ
111
n-a1)-(aa
n)-(a1)-(aa
n)-(a1)-(aa
1
1-n1-n1-n
nnn
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
四、（30 分）解线性方程组： .
dzcybxa
dczbyax
1zyx
2222⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
五、（30 分）令 V 为数域 P 上一 n 维线性空间，A 是 V 上的线性变换，且在 P 中有 n 个不
同的特征根 αααααλλλ 1n2
n21 AAA.V,,,, −
∈ ，，，，证明： ΛΛ 线性无关的充分必要
条件是 ∑=
==
n
1i
iii .n21iA, ，，，的特征向量，相应于是其中 Λλααα
六、（20 分）设 ,x2xx4xx2xx2x)x,x,x,x(f 324131214321 +++= 试分别在实数域上和
复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 AE, +εε 为正定矩阵.
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