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西北大学 2007 年招收攻读硕士学位研究生试题
科目名称：数学分析 科目代号：625
适用专业：数学系各专业
一． 单项选择题:（本题共 36 分，每小题 6 分）
1.下列命题成立的是（B）
A.若数列 n
x 收敛；数列 n
y 发散，则数列 n n
x y 发散.
B. 若函数 ( )f x 在 0 0
,x x 内单调，则 0 0
0), ( 0f x f x 都存在.
C.若函数 ( )f x 在 ,a b 内每一点都连续，则 ( )f x 在 ,a b 内有界.
D.定义域为 ,a b ，值域为 0,1 2, 3 的连续函数存在且唯一.
解析：取数列
1
, ( 1, 2, 3, )n n
x y n n
n
，显然数列 n
x 收敛，数列 n
y
发散，但数列 1n n
x y 收敛；
不妨设函数 ( )f x 在 0 0
,x x 内单调递增
令 1 0 0
,x x x
则由函数 ( )f x 在 0 0
,x x 内单调递增可知，
对任意的 0 0
,x x x ，都有 1
( ) ( )f x f x
所以函数 ( )f x 在 0 0
,x x 内有上界
于是由确界原理知，函数 ( )f x 在 0 0
,x x 内有上确界，不妨设
0 0,
sup ( )
x x x
A f x
则由上确界的定义知，对任给的 0 ，总存在 0 0
,x x x ，使得 ( )f x A
取 0
x x ，则当 0 0
x x x x 时，有 ( ) ( )A f x f x A A
故有
0 0 0
0
,
0 lim ( ) sup ( )
x x x x x
f x f x A f x
令 2 0 0
,x x x
则由函数 ( )f x 在 0 0
,x x 内单调递增可知，
对任意的 0 0
,x x x ，都有 2
( ) ( )f x f x
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