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一、（20 分）假设随机变量 X 具有概率分布 { } 1/ 2, 1,p X k k 2
{ }y
，
为 一 连 续 型 随 机 变 量 ， 记
Y
B Y y
2
， 已 知
，其中
1 0
{ | } , 1,
0 0
k
yp B X k k
y
e y
y
y 为任意实数。
1．求随机变量 的分布函数，即事件Y yB 发生的概率 { }p Y y ，
；2.求随机变量Y 的密度函数；3．对y 2y ，若事件 yB 已
发生，求事件{ 1X } 发生的条件概率；
二、（20 分）设二维随机变数 ),( 的联合分布为
(1 )(1 ) , 0, 0
( , )
0
ax by
e e x y
F x y
其它
1. 与 是否独立？为什么？ 2.求 ),( 的联合密度函数；
3.求数学期望 (2 )E 及方差 (2 )D ；4.若 a b ，试证明
与 / 独立。
三 、（ 20 分 ） 设 二 维 随 机 变 量 ( , )X Y 的 概 率 密 度 为
(1 ), 0 1
( , )
0 ,
k x y x
f x y
其它
,
1.求常数 ；2.求随机变量k X 和 的边缘概率密度；Y
3．求 X 与Y 的协方差 ，并说明cov( , )X Y X 与Y 是否相关？ X 与Y 是
否独立？ 4.求 ( 1)Y P X
四、（20 分）1.若对连续型随机变量 ，有 D ，试证对任意 0 有
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