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山东科技大学 2015 年全国硕士研究生招生考试
《微积分》试卷
一、（本题包括 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）求下列极限：
1、
0
1 cos2
lim
sinx
x
x x
2、
1
2 3
lim
2 1
x
x
x
x
3、
2
0
0
cos
lim
x
x
t dt
x
4、
4 4 4
1 2
lim
1 2n
n
n n n
n
二、（本题包括 2 个小题，第一小题 12 分，第二小题 10 分，共 22 分）
1、设
2 2
2 2
1
( )sin , ( , ) (0,
( , )
0 ,( , ) (0,
x y x y
f x y x y
x y
0),
0),
0
在点 处讨论：（1）是否连续？（2）是否存在偏导数？（3）是否可微？）（ 0,0
2、已知 2xy z
e z e
，求
x
z
、
z
y
和
2
z
y x
.
三、（本题包括 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）
1、计算定积分：（1）
1
2
0
arcsin xdx ；（2）
2
2
2
max( , )x x dx
.
2、计算二重积分：
（1）
D
xyd ，其中 是由直线D 1y 、 2 y xx 所围成的闭区域. 及
（2）
2 2 2
D
a x y d ，其中
2 2
:0 ,0D y a x x a .
四、（本题包括 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）
1、讨论曲线 凹凸区间及拐点. )1ln( 2
xy
2、设生产某种产品必须投入两种要素，以 1 2,x x 表示两种要素的投入量，Q 为产
出量，且 1 22Q x x
，其中 , 为正常数，且 1 ，若已知两种生产要素的价
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