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一、（本题包括 4 个小题，每小题 7 分，共 28 分）求以下函数极限：
1、
xx
x
x
1
tan
1
1
lim
2
2、
x
x x
x
1
1
lim
3、
1
11
lim
0 xx ex
4、
dtte
dte
x
t
x
t
x
0
2
2
0
0 2
2
lim
二、（本题包括 3 个小题，第 1、3 小题各 8 分，第 2 小题 12 分，共 28 分）
1、求函数 的带有皮亚诺型余项的 阶麦克劳林展开式。
x
xexf )( n
2、设函数
)0,0(),(,0
)0,0(),(,sin),(
22
22
yx
yxyx
yx
xy
yxf ，问：
（1） 是否存在？（2） 在点 处是否可微？)0,0(),0,0( yx ff ),( yxf ）（ 0,0
3、设方程 确定了隐函数
z
ezyx yxzz , ，求 2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
。
三、（本题包括 2 个小题，每小题 14 分，共 28 分）
1、计算定积分：（1） dxx
2
0
2
2 ；（2） xdxe x
cos2
0
2
。
2、计算二重积分：
（1） ，其中 是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点的三角形闭区域。dxdyex y
D
2
2
D
（2）
D
dxdyyx 22
1ln ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成的
在第一象限内的闭区域。
D 422
yx
四、（本题包括 2 个小题，第 1 小题 12 分，第 2 小题 8 分，共 20 分）
1、描绘函数 的图形（注意：要指明函数的单调性、凹凸
性和极值）。
1)( 23
xxxxf
2、当 时，求函数0,, zyx zyxzyxf ln3ln2ln),,( 在球面
222
zyx
2
6r 0r 上的最大值。
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