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一．求极限（20 分）：
1、曲线 )(xfy 与 xy sin 在原点相切，证明： 2)
2
(lim
n
nf
n
。
2、求极限：
x
xxx
cot
11
lim
0
。 3、求
5
0
2
0
)]cos(1[
lim
x
dtt
x
x
。
4、求极限
323232
12111
lim
n
n
nnnnnn
。
二．导数及高阶导数（20 分）：
1、设 3 5
xxxy ，求 'y 。 2、已知
x
x
y
1
4
，求 )4()(
ny n
。
3、由方程
xy
dttyx
0
22
)cos( 确定了 y 是 x 的函数，求
dx
dy
。
4、设 )()('),(' tfttfytfx ， )(''' tf 存在且 )('' tf 不为零，求三阶导数 3
3
dx
yd
。
三．证明题（17 分）：
1、设 )(xf 在 )0(],[ aba 上连续，在 ),( ba 内可导。
证明：存在 ),(, ba 使 )('
2
)('
f
ba
f
。
2、证明：方程 )2(11
nxxx nn
在 )1,0( 内必有惟一实根 nx ，并求 n
n
x
lim 。
四．积分计算（18 分）：
1、计算不定积分： 2
)1( x
e
dx
。 2、计算定积分： dxex
2ln
0
1 。
3、讨论反常积分 )0(
)1)(1(0 2
xx
dx
的敛散性，若收敛，求出其值。
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