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山东科技大学 2005 年招收硕士学位研究生入学考试
高等代数试题
（ 共 2 页 ）
一．（共 70 分，每小题 14 分）
1．试确定 A，B，使得 1x 是多少项式
)1(1)( 1
nBxAxxf nn
的二重因式。
2．证明方阵 A 的最小多项式是唯一的。
3．证明实二次型
323121
2
3
2
2
2
1321 48455),,( xxxxxxxxxxxxf
为正定二次型
4．已知 a1a2…as 的秩为 )0( rr ，证明：a1a2…as 中任意 r 个线性
无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。
5．设 T 是 R
2
的一个线性变换，向量
2
12
0
11 , aa 在变换 T 下的像是
2
32
0
11 , TaTa ，试求：T 在基
0
12
1
01 , ee 下的矩阵。
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二．（20 分）设 A 是 n 级方阵，证明：存在一个 n 级方阵 0B 使 0AB
的充分必要条件是 0A 。
三．（20 分） )(FMn 表示数域 F 上的全体 n 级方阵构成的线性空间，
试证：
1．N 级对称矩阵的集合 W1和 n级反对称矩阵的集合 W2 都是 )(FMn 的
线性了空间；
2． 21)(M WWFn
四．（20 分）设
340
430
241
A
求 k
A （其中 k 为正整数）
五．（20 分）设 V 是欧氏空间，W1 与 W2 是 V 的两上子空间试证：
1．若
1221 , WWWW 则 ；
2．当 V 是有限维时，若 W1 是 A 子空间，则
1W 是 A 子空间，其
中 A 是 V 上的任一正交变换。
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