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310 数学分析
一．求下列极限（18 分）：
（1）
n
nnn
n
21
lim （2） )1(lim
1
n
n
an )0( a
（3）已知 )(xf 满足 0
)(3sin
lim 30
x
xxfx
x
，求： 20
)(3
lim
x
xf
x
。
二．证明下列结论（18 分）：
（1）设定义在实数 R 上的函数 )(xf 在 1,0x 两点连续，且在任何 Rx 有
)()( 2
xfxf 。证明： )(xf 为常函数。
（2）设函数 )(xf 在 ),( 上二次连续可微，且满足 Mxf |)(| （ M 为
正常数）。证明存在 ),(0 x ，使得 0)(" 0 xf 。
三．证明下列不等式（22 分）：
（1）证明不等式：
2
ln21 xx ， )0( x
（2）设 )(xf 和 )(xg 在 ],[ ba 上可积，证明不等式：
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222
。
四．（22 分）
（1）设 )(xf 在 ]1,0[ 上可积，且满足：
1
0
)(2)( dxxfxfx ，
求
1
0
)( dxxf 的值。
（2）设 dt
t
t
xf
x
1
)1ln(
)( )0( x ，证明：
2
)(ln
2
1
)
1
()( x
x
fxf 。
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