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青 岛 科 技 大 学
二 OO 八年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
注意事项：1．本试卷共 9 道大题（共计 9 个小题），满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上
或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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一．（20 分）
设 ( )f x 具有二阶导数且满足
1
( ) [ ( ) ( )]
2
f x f x h f x h
试证 ( ) 0f x .
二．（20 分）
设 ),2,1(
!
!!2!1
n
n
n
a n ,判定数列{ n
a }的敛散性,若该数列收敛,求
其极限 n
alim .
三．(10 分)
证明: 一个数列{ n
a }如果不是无穷大量, 则它一定有收敛的子列.
四．（10 分）
设
1
n
n
a
为一收敛的正项级数， 1
{ }n n
a a
单调递减，证明
1
1 1
lim ( )
n
n n
a a
五． （20 分） 证明:
2
0
0sinlim
xdx
n
n
六． （20 分） 求证:
yxexyxyxf
y
0,10,)1(),(
1
.
七． (20 分)
计算曲面积分
S
zdSI
其中 S 是曲面 )0(2
22
aazzx 被曲面
22
yxz 所截取的有限部分
八． （15 分）
证明:
0
dxxe
x
在 ),[ 0
一致收敛, 其中 00
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