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青 岛 科 技 大 学
二 O 一一年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共 7 道大题（共 7 道小题），满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷
上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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一（20 分）
证明两个数字矩阵 A , B 相似的必要条件是它们有相同的特征多项式和相同的最小多项
式.
二（20 分）
设 A , B , C 为任意三个矩阵,乘积 ABC 有意义,求证：
)()()()( BrBCrABrABCr
三（20 分）
A , B 分别是 mn 和 nm 矩阵,证明 |||| BAEABE
EA
BE
mn
n
m
.
四（20 分）
设 AXXxxxf n
'
21
),,,( 为 n 元实二次型,如果有两个向量 1
X ,
n
RX 2
,使
.0)(,0)( 21
XfXf 证 明 存 在 两 个 线 性 无 关 的 向 量
n
RYY 21
, , 使
.0)()( 21
YfYf
五（20 分）
设V 是复数域上的 n 维线性空间，A,B 是V 的线性变换，且 AB=BA，证明：
1 如果 0
是 A 的一个特征值，那么 0V （特征子空间）是 B 的不变子空间；
2 A,B 至少有一个公共的特征向量。
六（20 分）
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