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青 岛 科 技 大 学
二 O 一 O 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 7 个小题），满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题
卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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一．（30 分）试证：设向量组①: r
,, 21
， 线性无关，并且可由向量组②：
s
,,, 21
线性表出，则
1). sr ；
2).并且可适当地排列向量组②中向量的次序，使得①替换②中前 r 个向量后得到
的向量组③: srr
,,,,,, 121
与向量组②等价。
二．（30 分）
1. 设 DCBA ,,, 都是 n 阶方阵，且 0A ， CAAC ,试证 CBAD
DC
BA
。
2. 试证如果两个 r 阶矩阵 A 与 C 的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基
础解系，则必定存在一个 r 阶满秩阵 B ,使得 BCA 。
三．（30 分）
1. 设 A 是 n 阶方阵( 3n ),证明： **
A = AA
n 2
。
2. 设 A 是一个 nn 矩阵， AA
2
,证明 A 相似于一个对角矩阵
0
0
1
1
1
四．（30 分）试证：如果已知既约分数
q
p
是整系数多项式 )(xf 的根，则 )1(| fpq ，
)1(| fpq ，且对任何的整数 m 有 )(| mfpmq 。
五．（30 分）设 A 是 n 级实对称矩阵，且 EA
2
，证明：存在正交矩阵T 使得
rn
r
E
E
ATT
0
01
。
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