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青岛科技大学 2008 年研究生入学考试试卷
考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）
一、(30 分)
1 设 A 是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值： 1
、 2
、 3
，依次对应的特征向量为 1
、
2
、 3
，令 1 2 3
，试证： 、 ( )A 、 2
( )A 线性无关。
2 设 n
V 是 n 维线性空间， 是 n
V 上的线性变换， 0
是 的一个 k 重特征值， 0
V 是 0
对应
的特征子空间，试证： 0
dim V k
。（这里 0
dim V 表示子空间的维数）
二、(30 分)
1 设
0 0 1
1 0 1
0 1 0
A
，求 100
A 。
2 设
1 0 2
0 1 1
0 1 0
B
， 一 元 多 项 式 1 1 8 7 5 4 3
( ) 2 2 8 3 1 7 4f x x x x x x x ， 求
( )f B ，并求 1
( ( ))f B
。
三、(30 分)
试证：1 当 A 、 B 是两个 n 阶方阵时，有 n n
E AB E BA
2 当 A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵( n m )时有： n m
n m
E BA E AB
四、(30 分)
试证 矩阵方程 AX B 有解当且仅当 ( )r A r A B
五、(20 分)
设 n 阶方阵 ij
A a ， 1ij
a ， , 1, 2, ,i j n ，试求 A 的特征值， A 的最小多项式。 A
是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。
六、(10 分)
给定方程组(1)
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2 9
2 4 2 3 12
x x x x
x x x x
与向量 (4, 2, 5,1) ，
设 1
V 是(1)的导出方程组的解空间， 0
是(1)的一个特解，令 1 0
V V ，试求向量 到V 的距
离。
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