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青 岛 科 技 大 学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共 七 道大题，满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷
上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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一（20 分）
求 矩阵
2345
100
010
001
的不变因子。
二（20 分）
设 A 是数域 P 上 mn 矩阵, B 是数域 P 上 sm 矩阵，试证：
)](),(min[)( BrArABr .
三（20 分）
A , B 分别是 mn 和 nm 矩阵,若 0 ，证明：
|||| BAEABE m
mn
n
.
四（20 分）
证明：秩等于 r 的对称矩阵可以表成 r 个秩等于 1 的对称矩阵之和.
五（20 分）
设 )()()(),()()( 11
xdgxcfxgxbgxafxf ，且 0 bcad ，证明：
))(),(())(),(( 11
xgxfxgxf .
六（20 分）
假设向量 可以由向量组 r
,,, 21
线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是
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