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青 岛 科 技 大 学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
注意事项：1．本试卷共 9 道大题（共计 9 个小题），满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷
上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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一（20 分）证明：若函数 ( )f x 在[ , )a 连续且 lim ( )
x
f x
存在（有限），则函数 ( )f x 在
[ , )a 一致连续.
二(20 分) 证明: 正项级数 ( 1)
1
2
n
n
n
收敛.
三(20 分) 设函数 ( , )f x y 在 (0, 0) 的邻域连续，
2 2 2
( ) ( , )
x y t
F t f x y dxdy
求
0
( )
lim
t
F t
t
.
四(20 分) 设 ( , )f x y 在区域 ,a x A b y B 连续，函数列 ( )n
x 在[ , ]a A 一致收敛
且满足 ( ) ( 1, 2, )n
b x B n ，证明：函数列 ( ) ( , ( ))n n
F x f x x 也在[ , ]a A 一致收
敛.
五 (15 分) 求极限
cos
3 20
lim
1 1
x
x
e e
x
.
六 (15 分) 证明: 对任意的实数a 和b , 成立
1 1 1
a b a b
a b a b
.
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