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青岛大学 2015 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：816； 科目名称：高等代数 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、（15 分）求下行列式的值
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
n
n n
n n n n
n
a a a a
D a a a a
a n a n a n a n
.
二、（15 分）求一个次数最低且首项系数为1的多项式 ( )f x ，使得 ( )f x 同
时满足两个条件：（1） 2
1x 整除 ( )f x ；（2） 3 2
1x x 整除 ( ) 1f x .
三、（15 分）证明：向量组 1 2, , , m 线性无关当且仅当向量组
1 1 2 1 2, , , m 线性无关.
四、（15 分）讨论当 a 取何值时，线性方程组
3
2
2
ax y z a
x ay z
x y az
无解？有唯一解？有无穷多解？有解时求其解.
五、（15 分）设 A 是n 级方阵且 2
A E ，其中 E 表示n 级单位矩阵，证明:
( ) ( )R A E R A E n , 其中 ( )R A 表示矩阵 A 的秩.
六、（15 分）设3 级方阵 A 的三个特征值为 1 2 32, 2, 1 ，对应于
1 2 3, , 的三个特征向量分别为 1 2 3
0 1 1
1 , 1 , 1 ,
1 1 0
求矩阵 A .
七、（15 分）设V 是实数域 上所有形如
0 a
a b
的矩阵构成的集合，即
0
,
a
V a b
a b
，
（1）验证V 关于矩阵的加法和数与矩阵乘法构成实数域 上一个线性
空间；
（2）求V 的一组基和维数.
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