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青岛大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 816 科目名称： 高等代数 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、(15 分) 设实数域上的矩阵
1 1 0
1 0 1
3 0 0
A
1）求 A 的特征多项式 ( )f x ；
2） ( )f x 是否为实数域上的不可约多项式；
3）求 A 的最小多项式.
二、（15 分）证明：如果 ( ) | ( )n
f x f x ，那么 ( )f x 的根只能是零或单位根.
三、（20 分）证明：
1* n
A A
，其中 A 是 n n 矩阵( 2)n ， *
A 是 A 的伴随矩阵.
四、（20 分）证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘
积的充分必要条件是,它的秩等于 2 且符号差等于 0，或者秩等于 1.
五、（20 分）设 1V ， 2V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在
，使 1 2,V V 同时成立.
六、（20 分）设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基 321 ,, 下的矩阵为
A=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1) 求 A 在基 123 ,, 下的矩阵;
2) 求 A 在基 321 ,, k 下的矩阵;
3) 求 A 在基 3221 ,, 下的矩阵.
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