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青岛大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 615 科目名称： 数学分析 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
1. (本题满分 30 分) 求下列极限：
(1) lim( )
2
n n
n
n
a b
, 其中 0, 0, 1, 1a b a b ；
(2) 2
limsin( 1)
n
n
；
(3) lim
3 !
n
nn
n
n
.
2. (本题满分 20 分)证明数列 { }nx 收敛,其中 1 3x , 1
1 3
( )
2
n n
n
x x
x
,
1,2,3,n ; 并求极限 lim n
n
x
.
3. (本题满分 10 分) 是否存在正实数a 使得恰好比其立方少 1 ?为什么?
4. (本题满分 10 分) 设函数 ( )f x 在区间 ( , )a 可导，且 ( )f x 在区间
( , )a 上有界，证明函数 ( )f x 在区间( , )a 上一致连续.
5. (本题满分 10 分) 设函数 ( ) 0f x ，在有限区间[ , ]a b 上连续，证明:
21
( ) ( )
( )
b b
a a
f x dx dx b a
f x
.
6. (本题满分 10 分) 设函数 ( )f x 在 0x 的某邻域内 n 阶可导，若 ( )f x 被n
阶多项式 2
0 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( )n
n nP x a a x x a x x a x x 逼近，相差是
0( )n
x x 的高阶无穷小，证明 n 阶多项式 ( )nP x 是唯一的.
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