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青岛大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 615 科目名称：数学分析 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
1. (本题满分 30 分) 求下列极限：
(1)
1
lim tan ( )
4
n
n n
;
(2) 2
2 2
1 2
lim ( )
1 11
2
n
n
n
n n
n
;
(3) 2
0
1 1
tan (1 cos )
lim
ln(1 ) (1 )
xx
a x b x
a x b e
, 其中 2 2
1
0a a .
2. (本题满分 10 分) 解下列各题:
(1) 试画出一导函数 ( )f x 的图形(非常数),并据此导函数的图形简单画
出函数 ( )f x 的图形;
(2) 试用某一物理意义解释拉格朗日微分中值定理.
3. (本题满分 10 分) 利用确界原理证明: 若单调递减实数列{ }n
x 有下界,则
数列{ }n
x 收敛, 且 lim n
n
x a
, 其中 inf{ }n
a x .
4. (本题满分 15 分) 设方程 2
0
2 tan( ) sec ,
x y
x x y tdt x y
确定了 y 是x
的函数,求
2
2
d y
dx
.
5. (本题满分 15 分) 设函数 ( )f x 和 ( )g x 均在有限区间[ , ]a b 上连续,且 ( )g x
不变号.证明:至少存在一点 [ , ]a b , 使得 ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x g x dx f g x dx .
6. (本题满分 15 分) 证明:广义积分 1
cos x
dx
x
收敛,而 1
| cos |x
dx
x
发散.
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